Un développement en série entière

Publié le 06/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2010)
Soient {(a_1,\cdots ,a_k)\in\mathbb{R}^k}, et {P=X^k -\displaystyle\sum_{j=1}^{k}a_jX^{k-j}}.
Soit {\alpha_1,\cdots ,\alpha_k} les racines complexes de P, supposées non nulles et distinctes.
On pose {c_0=1} et : {\forall n\in\mathbb{N}^*}, {c_{-n}=0} et {c_n=\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i c_{n-i}}.
On admet, dans 1), 2) 3), que la série entière {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}c_n x^n} a un rayon {R>0}.

  1. Montrer que : {f(x)=\dfrac{1}{(1-\alpha_1x)(1-\alpha_2x)\cdots (1-\alpha_k x)}.}
  2. Déterminer {(b_1,\cdots ,b_k)\in\mathbb{C}^k} tels que : {f(x)=\dfrac{b_1}{1-\alpha_1x}+\cdots +\dfrac{b_k}{1-\alpha_k x}}.
  3. Montrer : {\forall n\in\mathbb{N}^*}, {c_n=\displaystyle\sum_{i=1}^k \dfrac{{\alpha_i}^{k-1}}{\prod_{j\ne i}(\alpha_i -\alpha_j)}\;\alpha_i^n.}
    Déterminer {R}.

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