Un développement en série entière

Publié le 06/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2010)
Soient {(a_1,\cdots ,a_k)\in\mathbb{R}^k}, et {P=X^k -\displaystyle\sum_{j=1}^{k}a_jX^{k-j}}.
Soit {\alpha_1,\cdots ,\alpha_k} les racines complexes de P, supposées non nulles et distinctes.
On pose {c_0=1} et : {\forall n\in\mathbb{N}^*}, {c_{-n}=0} et {c_n=\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i c_{n-i}}.
On admet, dans 1), 2) 3), que la série entière {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}c_n x^n} a un rayon {R>0}.

  1. Montrer que : {f(x)=\dfrac{1}{(1-\alpha_1x)(1-\alpha_2x)\cdots (1-\alpha_k x)}.}
  2. Déterminer {(b_1,\cdots ,b_k)\in\mathbb{C}^k} tels que : {f(x)=\dfrac{b_1}{1-\alpha_1x}+\cdots +\dfrac{b_k}{1-\alpha_k x}}.
  3. Montrer : {\forall n\in\mathbb{N}^*}, {c_n=\displaystyle\sum_{i=1}^k \dfrac{{\alpha_i}^{k-1}}{\prod_{j\ne i}(\alpha_i -\alpha_j)}\;\alpha_i^n.}
    Déterminer {R}.

  1. Le calcul suivant est effectué sur l’intervalle {]-R,R\,[}.

    On utilise le fait que {c_{n-i}=0} quand {i>n}.

    On a successivement : {\begin{array}{rl}\Big(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_ix^i\Bigr)f(x)&=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_ix^i\,\displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty}c_j x^j\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\sum_{\large{1\le i\le k}\atop {j\ge 0,\;i+j=n}}a_ic_{j}\biggr)x^n=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_ic_{n-i}\Bigr)x^n\\&=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}c_nx^n=f(x)-1\end{array}}On a donc obtenu l’égalité : {\forall\, x\in]-R,R\,[,\;f(x)=\biggl(1-\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_ix^i\biggr)^{-1}}.

    Ensuite, en utilisant la factorisation de P : {\begin{array}{rl}\forall\, x\in\mathbb{C}^*,\;1-\displaystyle\sum_{j=1}^{k}a_jx^j&=x^kP\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)\\&=x^k\displaystyle\prod_{j=1}^{k}\Bigl(\dfrac{1}{x}-\alpha_j\Bigr)=\displaystyle\prod_{j=1}^{k}(1-\alpha_jx)\end{array}}(on remarque que l’égalité est vraie en {0} aussi).

  2. On a la décomposition :
    {f(x)=\dfrac{b_1}{1-\alpha_1x}+\cdots +\dfrac{b_k}{1-\alpha_k x}}Dans cette décomposition : {\forall\, i\in[[ 1,k]],\;b_i=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1/\alpha_i}(1-\alpha_ix)f(x)}.

    On en déduit, pour tout i de [[ 1,k]] : {\begin{array}{l}b_i=\dfrac{1}{\prod_{j\ne i}(1-\alpha_j/\alpha_i)}=\displaystyle\prod_{j\ne i}\dfrac{\alpha_i}{\alpha_i-\alpha_j}=\dfrac{\alpha_i^{k-1}}{\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j)}\end{array}}

  3. Pour {i\in [[ 1,k]]}, et {\left|{x}\right|\lt \dfrac{1}{\left|{\alpha_i}\right|}}, on a {\dfrac{1}{1-\alpha_ix}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_i^nx^n}.

    Le rayon de convergence est ici {R_i=\dfrac{1}{\left|{\alpha_i}\right|}>0}.

    On en déduit le développement de f en série entière : {\begin{array}{rl}f(x)&=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\dfrac{b_i}{1-\alpha_ix}=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}b_i\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_i^nx^n\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}b_i\alpha_i^n\biggr)x^n\end{array}}Ainsi {c_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}b_i\alpha_i^n=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\alpha_i^{k-1}}{\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j)}\alpha_i^n}.
    Par sommation, le rayon de convergence {R} de {f(x)} est {\min\limits_{1\le i\le k}R_i=\dfrac{1}{\max\limits_{1\le i\le k}\left|{\alpha_i}\right|}}.