Déplacements aléatoires sur un carré

Publié le 31/03/17

    (cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)

  1. Diagonaliser la matrice {J =\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0 &0\end{pmatrix}}
  2. Soit {ABCD} un carré sur lequel on se déplace comme suit :
    • si on se trouve en {A} à l’étape {n}, on va en {B} avec la probabilité {1/2}, en {D} avec la probabilité {1/3}, et on reste en {A} avec la probabilité {1/6};
    • si on se trouve en {B} à l’étape {n}, on va en {C} avec la probabilité {1/2}, en {A} avec la probabilité {1/3}, et on reste en {B} avec la probabilité {1/6};
    • si on se trouve en {C} à l’étape {n}, on va en {D} avec la probabilité {1/2}, en {B} avec la probabilité {1/3}, et on reste en {C} avec la probabilité {1/6};
    • si on se trouve en {D} à l’étape {n}, on va en {A} avec la probabilité {1/2}, en {C} avec la probabilité {1/3}, et on reste en {D} avec la probabilité {1/6}.

    On note {a_{n}} la probabilité d’être en {A} à l’étape {n}.
    Calculer la limite de la suite {(a_{n})}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé