Conservation du volume

Publié le 09/03/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)

  1. Soit {\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})=\big\{M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\;M^\top=M,\;\text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^{+*}\big\}}.
    Soit M\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R}). Montrer : {\exists N\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R}),\; N^2=M}.
    Soit {A\in \text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer : {\exists\Omega\in\text{O}(n),\exists S\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R}),\;A = \Omega S}.

  2. Soit {E} un espace euclidien de dimension {n}.
    Soit {d\in\{1,\ldots,n\}} et {(x)=(x_{1},\ldots,x_{d})\in E^{d}}.
    Si {(x)} est libre, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}((x))}.
    On pose alors {m(x_{1},\ldots,x_{d})=\left|\det_{\mathcal{B}}(x_{1},\ldots,x_{d})\right|}.
    Si {(x)} est liée, on pose {m(x_{1},\ldots,x_{d}) =0}.
    Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
    {\qquad\forall (x)\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x_{1},\ldots,x_{d})}

    • Justifier la définition de {m}.
    • Montrer les inclusions {\text{O}(n)\subset X_{d}\subset\text{GL}(E)}.
    • Si {d \lt n}. Quelle est l’intersection {\mathcal{S}(E)\cap X_{d}} ?
    • En déduire que {X_{d}=\text{O}(n)}.

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