Comparaison de rayons de convergence

Publié le 22/03/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2015)
Soit {(a_{n})} une suite de complexes non nuls.
Soit {R>0,R'>0} les rayons de convergence respectifs de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}.
Montrer que si {R} et {R'} sont finis alors {RR'\le 1}.
Donner un exemple avec {0 \lt RR' \lt 1}.
Supposons {0\lt \left|{z}\right|\lt R}, c’est-à-dire {\Bigl|\dfrac{1}{z}\Bigr|\ge R'}. Alors {\displaystyle\sum a_{n} z^{n}} converge.

En particulier {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|{a_nz^n}\right|=0}, donc {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\Big|\dfrac{1}{a_n}\Big|\Bigl|\dfrac{1}{z}\Bigr|^n=+\infty}, donc {\Bigl|\dfrac{1}{z}\Bigr|\ge R'}.

Il en résulte {\dfrac{1}{R}\ge R'}, c’est-à-dire {RR'\ge1}.

Mais on peut très bien avoir l’inégalité stricte {RR'\lt 1}.

Posons par exemple {\begin{cases}a_n=\alpha^{2n}&\text{\ si\ }n\text{\ pair}\\a_{n}=1&\text{sinon}\end{cases}} (avec {0\lt \alpha\lt 1}).

  • Alors {\displaystyle\sum a_{n} z^{n}} est la somme de {\displaystyle\sum (\alpha z)^{2n}} et de {\displaystyle\sum z^{2n+1}}.

    La première est de rayon {\dfrac{1}{\alpha}>1}, la seconde de rayon {1}.

    Le rayon de {\displaystyle\sum a_{n} z^{n}} est donc {R=1}.

  • De même {\displaystyle\sum \dfrac{1}{a_{n}} z^{n}} est la somme de {\displaystyle\sum \Bigl(\dfrac{z}{\alpha}\Bigr)^{2n}} et de {\displaystyle\sum z^{2n+1}}.

    La première est de rayon {\alpha\lt 1}, la seconde de rayon {1}.

    Le rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{a_{n}}z^{n}} est donc {R'=\alpha}

Dans cet exemple {RR'=\alpha} : toutes les valeurs de {RR'} sont possibles dans {]0,1[}.