Une équation fonctionnelle

Publié le 01/02/17

On cherche à déterminer les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= 0\text{\ et \ }\forall x\in\mathbb{R}^{+*},\;f(x+1)+f(x)=\dfrac{1}{x}}

  1. Montrer qu’il existe au plus une fonction {f} vérifiant ces conditions.
  2. Montrer que, pour tout {x\in\mathbb{R}^{+*}} et tout {n\in\mathbb{N}^*} :
    {f(x)+(-1)^{n-1}f(x+n)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k}{x+k}\quad(E_{n})}
  3. Montrer que {f} existe. Est-elle continue ? intégrable sur {[1,+\infty[} ?

  1. Soit {f,g} deux solutions du problème, et {h=f-g}.

    Alors: {\forall\,x\in\mathbb{R}^{+*},\;h(x+1)+h(x)=0}, et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)= 0}.

    Ainsi, pour tout {x\in\mathbb{R}^{+*}} et tout {n\in\mathbb{N}^*} :{h(x)=-h(x+1)=h(x+2)=\cdots=(-1)^{n}h(x+n)}On trouve {h(x)=0} quand {n\rightarrow+\infty}, donc {h} est la fonction nulle, et on a l’unicité.

  2. On suppose que {f} est solution du problème.

    On raisonne par récurrence sur {n\ge1}.

    Si {n=1}, l’égalité se réduit à: {\forall\, x>0,\;f(x)+f(x+1)=\dfrac{1}{x}} (vrai par définition).

    Si l’égalité {(E_{n})} est vraie alors :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{x+k}&=f(x)+(-1)^{n-1}f(x+n)+\dfrac{(-1)^n}{x+n}\\\\&=f(x)+(-1)^{n}\Bigl(-f(x+n)+\dfrac{1}{x+n}\Bigr)\\\\&=f(x)+(-1)^{n}f(x+n+1)\quad(E_{n+1})\end{array}}ce qui prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.

  3. Posons {u_{n}(x)=\dfrac{1}{x+k}}.

    Pour tout {x>0}, {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k}u_{k}(x)} converge (TSA: théorème des séries alternées).

    On fait donc tendre {n} vers {+\infty} dans {(E_{n})} et on trouve : {\forall\, x>0,\;f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k}u_{k}(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{x+k}}D’autre part, pour tout x\gt 0 et tout N\ge0, on a :
    {\begin{array}{rl}\left|{R_{N}(x)}\right|&=\bigg|\displaystyle\sum_{k=N+1}^{+\infty} (-1)^{k}u_{k}(x)\bigg|\\\\&\le u_{N+1}(x)=\dfrac{1}{x+N+1}\le \dfrac{1}{N+1}\end{array}}(en utilisant le théorème des séries alternées).

    Ainsi {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{x+k}} est CVU sur {]0,+\infty[}, donc {f} est continue sur {]0,+\infty[}.

    En fait {f} est de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.

    En effet {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k}u'_{k}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}}{(x+k)^{2}}} est CVN donc CVU sur {]0,+\infty[}.

    D’après le TSA, {f'(x)} a le signe de {u_{1}'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}} donc est décroissante.

    • Pour tout {x>0}, on sait que {f(x+1)+f(x)=\dfrac{1}{x}}.

      Or {\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}f(x)=f(1)} donc {f(x)\sim\dfrac{1}{x}} quand x\rightarrow0.

    • Pour {x>1}, on a l’encadrement :{\dfrac{1}{2}\bigl(f(x)+f(x+1)\bigr)\le f(x)\le \dfrac{1}{2}\bigl(f(x)+f(x-1)\bigr)}Ainsi {\dfrac{1}{2x}\le f(x)\le \dfrac{1}{2(x-1)}}, donc {f(x)\sim\dfrac{1}{x}} quand x\rightarrow0.

      Il en résulte que la fonction {f} n’est pas intégrable sur {[1,+\infty[}.