Une équation fonctionnelle

Publié le 01/02/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2011)
On cherche à déterminer les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= 0\text{\ et \ }\forall x\in\mathbb{R}^{+*},\;f(x+1)+f(x)=\dfrac{1}{x}}

  1. Montrer qu’il existe au plus une fonction {f} vérifiant ces conditions.
  2. Montrer que, pour tout {x\in\mathbb{R}^{+*}} et tout {n\in\mathbb{N}^*} :
    {f(x)+(-1)^{n-1}f(x+n)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k}{x+k}\quad(E_{n})}
  3. Montrer que {f} existe. Est-elle continue ? intégrable sur {[1,+\infty[} ?

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