Un système différentiel matriciel

Publié le 22/02/17

Soient {d\in\mathbb{N}^{*}}, {A_{0}\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)}{A(t)\in {\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que les valeurs propres de {A(t)} solution de {(E)} sont constantes.
On admet l’existence de {U(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^{n}}{n!}B^{n}}. Il est clair que {U(0)=I_{d}}.

On admet que {t\mapsto U(t)} est {\mathcal{C}^{1}} et que : {\forall\, (t,s)\in\mathbb{R}^{2},\;U(t)U(s)=U(t+s)}.

  1. Montrer que l’équation {(E)} possède une unique solution {t\mapsto A(t)}.
  2. Montrer que, pour tout {t \in\mathbb{R}}, {A(t)} est symétrique.
  3. Montrer que la matrice {U(t)} est orthogonale, pour tout réel {t}.
  4. Montrer que : {\forall\, t \in\mathbb{R},\;A(t) = U(t)A_{0}\,{U}^{\top}{(t)}}. Conclure.

  1. Si on identifie {A(t)} à un vecteur {X(t)} de {\mathbb{R}^{d^{2}}} (en écrivant les coefficients {a_{i,j}(t)} dans l’ordre lexicographique des couples {(i,j)}), alors {(E)} s’écrit {(E_{2}) :X'(t)=MX(t)}, pour une certaine matrice {M} (carrée de taille {d^{2}}), et la condition {A(0)=A_{0}} s’écrit {X(t)=X_{0}}{X_{0}} est le vecteur de {\mathbb{R}^{d^{2}}} associé à la matrice {A_{0}}.

    Le théorème de Cauchy linéaire affirme alors que {(E_{2})} a une solution unique {t\mapsto X(t)\in\mathbb{R}^{d^{2}}} sur {\mathbb{R}}, donc que {(E)} a une solution unique {t\mapsto A(t)\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} sur {\mathbb{R}}.

  2. Il suffit de vérifier que {t\mapsto {A}^{\top}(t)} est solution de (E) avec la même condition initiale.

    En effet, pour tout réel t : {\begin{array}{rl}({A}^{\top})'(t)&={(A'(t))}^{\top}={\big(A(t)B - BA(t)\big)}^{\top}\\\\&={B}^{\top}{A}^{\top}(t)-{A}^{\top}(t){B}^{\top}={A}^{\top}(t)\,B-B{A}^{\top}(t)\end{array}}Quant à {{A}^{\top}(0)=A_{0}}, c’est évident car {A(0)=A_{0}} et {A_{0}} est symétrique.

    Ainsi, par unicité de la solution de {(E)}, on a : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;{A}^{\top}(t)=A(t)}.

  3. La transposition est un endomorphisme de {\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}, il est donc continu.

    En particulier, pour tout réel t : {\begin{array}{rl}{(U(t))}^{\top}&=\displaystyle\lim_{N\rightarrow+\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{N}\dfrac{t^{n}}{n!}{(B^{n})}^{\top}\\\\&=\displaystyle\lim_{N\rightarrow+\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{N}\dfrac{(-t)^{n}}{n!}B^{n}=U(-t)\end{array}}Il en résulte : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;{(U(t))}^{\top}U(t)=U(-t)\,U(t)=U(0)=I_{d}}.

    Ainsi les matrices U(t) sont orthogonales.

  4. Posons : {\forall\, t \in\mathbb{R},\;C(t) = U(t)A_{0}\,{U(t)}^{\top}}.

    En particulier {C(0)=U(0)A_{0}\,{U(0)}^{\top}=A_{0}} car {U(0)=I_{d}}.

    Il suffit donc de vérifier que {t\mapsto C(t)} est solution de {(E)} sur {\mathbb{R}}.

    Pour tout réel t, on a :{\begin{array}{rl}C'(t)&=U'(t)A_{0}\,{U(t)}^{\top}+U(t)A_{0}\,{U'(t)}^{\top}\\\\&=B\,U(t)A_{0}\,{(U(t))}^{\top}+U(t)A_{0}\,{U(t)}^{\top}{B}^{\top}\end{array}}
    Ainsi, pour tout réel : {\begin{array}{rl}C'(t)&=B\,U(t)A_{0}\,{(U(t))}^{\top}{U(t)}-U(t)A_{0}\,{B}^{\top}\\\\&=BC(t)-C(t)B\end{array}}

    Donc par unicité de la solution de {(E)} : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;A(t)=U(t)A_{0}\,{(U(t))}^{\top}}.

    Ainsi {A(t)} est donc toujours ortho-semblable à la matrice symétrique {A_{0}}.

    En particulier : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;{\text{Sp}}(A(t))={\text{Sp}}(A_{0})}.