Suite d’intégrales à paramètre

Publié le 27/02/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Pour x\ge0, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t} et {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(t^{2}+1)x^{2}}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}.

  1. Calculer {g(0)} et montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0}.
    Calculer {g'} en fonction de {f,f'}. Calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t}.
  2. Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée.
    On pose : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\forall\, x \in\mathbb{R},\;\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
    Montrer que {\varphi_{n}} est {{\mathcal C}^{1}} sur {\mathbb{R}} et que {(\varphi_{n})_{n\ge0}} converge simplement vers {\varphi}.

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