Itérés d’un opérateur à noyau

Publié le 25/02/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} tel que {K(x,y) = 0} si {x\le y}.

Soit {K_{1}=K} et {\begin{cases}\forall\, n\ge1,\\\forall\, (x,y)\in[a,b]^{2}\end{cases},\;K_{n+1}(x,y)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,t)K_{n}(t,y)\,\text{d}t}.

On admet que les {K_{n}} sont dans {\mathcal{C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}.

Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on note {T^{n}_{K}} la {n}-ième itérée de {T_{K}}.

  1. Montrer qu’on a toujours {K_{n}(x,y) = 0} si {x\le y}.
  2. À tout {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} défini par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
    Montrer que {T_{K}} est un endomorphisme de {{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}.
  3. On note {T_{k}^{n}} l’itérée {n}-ième de {T_{K}}.

    Montrer que {T_{K}^{n}=T_{K_{n}}} (on admettra l’interversion des deux intégrales).

  4. Montrer que : {\begin{cases}\forall\, n\in\mathbb{N}^{*}\\\forall\,(x,y) \in[a,b]^{2}\end{cases},\;\left|K_{n}(x,y)\right|\le \left\|K\right\|_{\infty}^{n}\dfrac{\left|{x-y}\right|^{n-1}}{(n-1)!}}.
  5. Soient {\lambda\in\mathbb{C}^{*}} et {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})} fixés.
    Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\lambda^{n}}T_{K}^{n}(u)} converge uniformément sur {[a,b]}.

  1. Il n’y a rien à démontrer pour {K_{1}} puisque ça résulte des hypothèses de l’énoncé.

    Soit {n\in\mathbb{N}^{*}}. On suppose que {x\le y\Rightarrow K_{n}(x,y)=0}.

    On se donne {x,y} dans {[a,b]} avec {x\le y}. Alors : {\forall\, t\in[a,b],\;\begin{cases}K(x,t)=0\text{\ si\ }y\le t\\K_{n}(t,y)=0\text{\ si\ }t\le y\end{cases}\text{\ donc\ }K(x,t)K_{n}(t,y)=0}Ainsi : {x\le y\Rightarrow K_{n+1}(x,y)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,t)K_{n}(t,y)\text{d}t=0}, ce qui achève la récurrence.

  2. L’application {v\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{C}} est définie car pour tout {x\in[a,b]}, l’application {y\mapsto K(x,y)u(y)} est continue sur {[a,b]}.

    De plus la fonction {(x,y)\mapsto K(x,y)u(y)} est continue sur {[a,b]^{2}}.

    Dans ces conditions, la continuité de v sur {[a,b]} est assurée.

    Enfin la linéarité est évidente : {T_{K}} est donc un endomorphisme de {{\mathcal{C}}^{0}([a,b],\mathbb{C})}.

  3. Il s’agit de montrer que : {\begin{array}{l}\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;\forall\, u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C}),\;\forall\, x\in[a,b],\\\\T_{K}^{n}(u)(x) = \displaystyle\int_{a}^{b}K_{n}(x,y)\,u(y)\,\text{d}y\end{array}}Par définition de {T_{K}} et de {K_{1}}, la propriété est vraie au rang 1.

    On suppose donc qu’elle est vraie au rang {n\ge1}.

    Alors, {\forall\, u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C}),\;\forall\, x\in[a,b]} :
    \begin{array}{rl}T_{K}^{n+1}(u)(x)& = T_{K}^{n}(T_{K}(u))(x)\\\\&=\displaystyle\int_{a}^{b}K_{n}(x,y)\,T_{K}(u)(y)\,\text{d}y\\\\&=\displaystyle\int_{a}^{b}K_{n}(x,y)\biggl(\int_{a}^{b}K(y,t)\,u(t)\,\text{d}t\biggr)\text{d}y\\\\&=\displaystyle\int_{y=a}^{y=b}\int_{t=a}^{t=b}K_{n}(x,y)\,K(y,t)\,u(t)\,\text{d}t\,\text{d}y\\\\&=\displaystyle\int_{t=a}^{t=b}\int_{y=a}^{y=b}K_{n}(x,y)\,K(y,t)\,u(t)\,\text{d}y\,\text{d}t\\\\&=\displaystyle\int_{t=a}^{t=b}u(t)\biggl(\int_{y=a}^{y=b}K_{n}(x,y)\,K(y,t)\,\text{d}y\biggr)\,\text{d}t\\\\&=\displaystyle\int_{a}^{b}K_{n+1}(x,t)\,u(t)\,\text{d}t=T_{K_{n+1}}(u)(x)\end{array}ce qui prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.

  4. La propriété est évidente si {n=1}, car {K_{1}=K}.

    On suppose donc qu’elle est vraie au rang {n\ge1}, et on se donne {x,y} dans {[a,b]^{2}}.

    Du fait que {K_{n+1}(x,y)=0} si {x\le y}, il suffit de supposer {y\le x}

    On observe que : {\begin{array}{rl}K_{n+1}(x,y)&= \displaystyle\int_{a}^{b}K(x,t)K_{n}(t,y)\,\text{d}t\\\\&=\displaystyle\int_{y}^{x}K(x,t)K_{n}(t,y)\,\text{d}t\text{\ car\ }\begin{cases}K(x,t)=0\text{\ si\ }x\le t\\K_{n}(t,y)=0\text{\ si\ }t\le y\end{cases}\end{array}}Ainsi:{\begin{array}{rl}\left|K_{n+1}(x,y)\right|&\le \displaystyle\int_{y}^{x}\left|K(x,t)\right|\,\left|K_{n}(t,y)\right|\,\text{d}t\\\\&\le\displaystyle\int_{y}^{x}\left\|K\right\|_{\infty}\,\left\|K\right\|_{\infty}^{n}\dfrac{(t-y)^{n-1}}{(n-1)!}\,\text{d}t=\left\|K\right\|_{\infty}^{n+1}\dfrac{(x-y)^{n}}{n!}\end{array}}ce qui prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.

  5. La question précédente montre que : {\forall n\ge1,\;\left\|K_{n}\right\|_{\infty}\le \left\|K\right\|_{\infty}^{n}\dfrac{(b-a)^{n}}{n!}}.

    On en déduit, pour tout n\ge 1 et tout x\in[a,b] :
    {\begin{array}{rl}\left|T_{K}^{n}(u)(x)\right|&=\biggl|\displaystyle\int_{a}^{b}K_{n}(x,y)\,u(y)\text{d}y\biggr|\\\\&\le \left\|K_{n}\right\|_{\infty}\displaystyle\int_{a}^{b}\left|u(y)\right|\text{d}y\\\\&\le \left\|K\right\|_{\infty}^{n}\dfrac{(b-a)^{n}}{n!}\displaystyle\int_{a}^{b}\left|u(y)\right|\text{d}y\end{array}}Ainsi {\dfrac{\left\|T_{K}^{n}(u)\right\|}{\left|\lambda^{n}\right|}\le \dfrac{\mu^{n}}{n!}\displaystyle\int_{a}^{b}\left|u(y)\right|\text{d}y}, où {\mu=\left\|K\right\|_{\infty}\dfrac{b-a}{\left|\lambda\right|}}.

    Conclusion : {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\lambda^{n}}T_{K}^{n}(u)} converge normalement donc uniformément sur {[a,b]}.