Itérés d’un opérateur à noyau

Publié le 25/02/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} tel que {K(x,y) = 0} si {x\le y}.

Soit {K_{1}=K} et {\begin{cases}\forall\, n\ge1,\\\forall\, (x,y)\in[a,b]^{2}\end{cases},\;K_{n+1}(x,y)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,t)K_{n}(t,y)\,\text{d}t}.

On admet que les {K_{n}} sont dans {\mathcal{C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}.

Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on note {T^{n}_{K}} la {n}-ième itérée de {T_{K}}.

  1. Montrer qu’on a toujours {K_{n}(x,y) = 0} si {x\le y}.
  2. À tout {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} défini par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
    Montrer que {T_{K}} est un endomorphisme de {{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}.
  3. On note {T_{k}^{n}} l’itérée {n}-ième de {T_{K}}.

    Montrer que {T_{K}^{n}=T_{K_{n}}} (on admettra l’interversion des deux intégrales).

  4. Montrer que : {\begin{cases}\forall\, n\in\mathbb{N}^{*}\\\forall\,(x,y) \in[a,b]^{2}\end{cases},\;\left|K_{n}(x,y)\right|\le \left\|K\right\|_{\infty}^{n}\dfrac{\left|{x-y}\right|^{n-1}}{(n-1)!}}.
  5. Soient {\lambda\in\mathbb{C}^{*}} et {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})} fixés.
    Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\lambda^{n}}T_{K}^{n}(u)} converge uniformément sur {[a,b]}.

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