Matrices par blocs

Publié le 19/02/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2010, filière Psi)
On se donne {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}, {B\in{\mathcal M}_{n,m}(\mathbb{K})}, {C\in{\mathcal M}_{m,n}(\mathbb{K})}, {D\in{\mathcal M}_m(\mathbb{K})}.
On pose {P=\left(\begin{array}{c|c}A&B\\C&D\end{array}\right)}. Dans (1) et (2), on suppose {A} inversible.

  1. Montrer qu’il existe {X\in{\mathcal M}_{n,m}(\mathbb{C})} telle que :
    {P=\left(\begin{array}{c|c}A&0\\ C&I_m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c}I_m&X\\ 0&D-CA^{-1} B\end{array}\right)}
  2. Montrer que {\det P= \det(A)\det\left(D-CA^{-1} B\right)}.
  3. Soit {P} dans {{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}.
    Montrer qu’il existe {J} diagonale, des {\pm1} sur sa diagonale, avec {\det (P+J)\ne 0}.

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