L’urne d’Ehrenfest, épisode 3

Publié le 04/02/17

Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.

  1. Déterminer le spectre et une base {(Q_{0},Q_{1},\ldots,Q_{N})} de diagonalisation de {\varphi}.

    On notera {\lambda_{0}>\lambda_{1}>\cdots>\lambda_{N}} les valeurs propres, et on choisira {Q_{k}} unitaire.

  2. On dit que V=(v_i)\in\mathbb{R}^{N+1} est stochastique si les v_i\ge0 et {\displaystyle\sum_{i=0}^{N}v_i=1}.
    Montrer que le seul vecteur stochastique V invariant par A est :
    V=\dfrac{1}{2^N}\biggl(\binom{N}{0},\binom{N}{1},\ldots,\binom{N}{N}\biggr)Donner une interprétation probabiliste de ce résultat.
  3. Illustrer avec Python les variations éventuelles des lois X_n, quand on part de la loi initiale de X_0 (qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)

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