L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

Publié le 03/02/17

On reprend ici les notations et les résultats de l’épisode 1.
On note {U_{n}=\bigl(\mathbb{P}(X_{n}=0),\mathbb{P}(X_{n}=1),\ldots,\mathbb{P}(X_{n})=N\bigr)} la loi de {X_{n}}.

  1. Déterminer {A\in\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})} telle que: {\forall\, n\in\mathbb{N},\,U_{n+1}=AU_{n}}.
  2. Écrire une fonction Python/Numpy renvoyant la matrice {A\in\mathcal{M}_{N+1}(\mathbb{R})}.
  3. On se place dans {\mathbb{R}_{N}[X]}, muni de sa base canonique {1,X,\ldots,X^{N}}.
    Identifier l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{R}_{N}[X]} de matrice {A} dans cette base.
  4. On note {t\mapsto G_{n}(t)} la fonction génératrice de {X_{n}}.
    Montrer {G_{n+1}=\varphi(G_{n})} et retrouver : {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé