Le gâteau

Publié le 10/02/17

On voit ici une application des équations différentielles à un problème de la vie quotidienne. Il s’agit de servir un gâteau à nos invités à une heure précise, mais celui-ci doit être à la bonne température. Facile si on connaît la loi de Newton.

1. Une équation différentielle

Une loi de Newton stipule que la vitesse de refroidissement d’un corps reste proportionnelle
à la différence entre la température de ce corps à l’instant {t} et la température constante de l’air ambiant, le coefficient de proportionnalité (ici supposé constant) dépendant essentiellement de la surface de contact entre le corps et son milieu.

Notons {\,\theta(t)} la température (exprimée en minutes) à l’instant {t > t_0}, d’un corps initialement (à l’instant {t_0}) à la température {\,\theta_0}, et qui est plongé dans un environnement dont la température constante est égale à {\,\theta_a\le \theta_0}

La vitesse de refroidissement est la dérivée {\,\theta'(t)} de sa température.
D’après Newton, il existe {k} tel que {(E): \,\theta'(t)=k(\,\theta(t)-\,\theta_a)} pou {t\ge t_0}.
Remarque : k\lt0 car \theta(t) se rapproche de \theta_a.
La solution générale de (E) est \theta(t)=\theta_a+(\theta_0-\theta_a)\text{e}^{k(t-t_0)}.

2. Le temps d’attente de la bonne température

La température de notre cuisine est constante, égale à {20}°C.

Quand on le sort du four à {20}h, la température du gâteau que nous avons préparé
pour nos invités est {180}°C, et on observe qu’à {20}h{30} elle est encore de {100}°C.

On se demande à quelle heure nous pourrons le servir à la température idéale, soit {25}°C?

Ici {\theta_a=20}, {\,\theta_0=180}, donc {\,\theta(t)=20+160\text{e}^{k(t-t_0)}} pour {t\ge t_0}.

On sait que {\,\theta(t_0+30)=100}, donc {100=20+160\text{e}^{30k}}.

On en déduit {\text{e}^{30k}=\dfrac12} donc {k=-\dfrac{\ln2}{30}}.

On cherche ensuite {t} pour que {25=\,\theta(t)=20+160\text{e}^{k(t-t_0)}}.

On trouve {\text{e}^{k(t-t_0)}=1/32}.

Ainsi {k(t-t_0)=-5\ln2} et {t-t_0=150} (deux heures et demie).

Le gâteau est donc à température idéale à {22}h{30}.

3. Solution expéditive pour refroidir le gâteau

Comme nous voulons absolument servir le gâteau à {22}h précises, nous le plaçons dès {20}h sur le rebord d’une fenêtre, où l’air est à {0}°C. Mais combien de temps doit-on le laisser sur ce rebord avant de le rentrer à l’intérieur pour que vos invités puissent le déguster à {22}h à la température idéale ?

Sur le bord de la fenêtre, on a {\,\theta_a=0}.

Tant que le gâteau s’y trouve, on a donc {\,\theta(t)=180\text{e}^{k(t-t_0)}} pour {t\ge t_0}.

Après un laps de temps {x\lt 120}, il est à la température {\,\theta_0=180\text{e}^{kx}}.

A l’intérieur, {\,\theta(t)=20+(\,\theta_0-20)\text{e}^{k(t-t_0-x)}} pour {t\ge t_0+x}.

Après un nouveau délai {120-x}, il doit être à {25}°C.

Autrement dit {25=\,\theta(t_0+120)=20+(180\text{e}^{kx}-20)\text{e}^{k(120-x)}}.

Cette égalité devient {36-4\text{e}^{-kx}=e^{-120k}=16} donc {\text{e}^{-kx}=5}.

Ainsi {x=\dfrac{-\ln 5}{k}=\dfrac{30\ln 5}{\ln 2}=69.6578...\approx 70}.

On doit donc laisser le gâteau sur la fenêtre pendant environ {1} heure et {10} minutes.