Équation aux dérivées partielles

Publié le 24/02/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit {u_{0}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} une fonction de classe {{\mathcal C}^{1}}.
On cherche les fonctions {u: (t,x) \in\mathbb{R}^{2}\mapsto u(t,x) \in\mathbb{R}} de classe {{\mathcal C}^{1}} telles que :
{(\star)\quad\forall\,(t,x)\in\mathbb{R}^{2},\;\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2tx\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\quad\text{et}\quad u(0,x) = u_{0}(x)}

  1. Si {u} est solution, trouver des {t\mapsto X(t)} telles que {\varphi : t\mapsto u(t,X(t))} soit constante.
  2. Résoudre l’équation (*).

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