Équation aux dérivées partielles

Publié le 24/02/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit {u_{0}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} une fonction de classe {{\mathcal C}^{1}}.
On cherche les fonctions {u: (t,x) \in\mathbb{R}^{2}\mapsto u(t,x) \in\mathbb{R}} de classe {{\mathcal C}^{1}} telles que :
{(\star)\quad\forall\,(t,x)\in\mathbb{R}^{2},\;\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2tx\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\quad\text{et}\quad u(0,x) = u_{0}(x)}

  1. Si {u} est solution, trouver des {t\mapsto X(t)} telles que {\varphi : t\mapsto u(t,X(t))} soit constante.
  2. Résoudre l’équation (*).

  1. On trouve, pour tout réel t : {\begin{array}{rl}\varphi'(t)&=\dfrac{\partial u}{\partial t}(t,X(t))+X'(t)\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,X(t))\\\\&=\Bigl(-2tX(t)+X'(t)\Bigr)\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,X(t))\end{array}}Pour que {\varphi} soit constante, il suffit donc que : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;X'(t)=2tX(t)}.

    Cela équivaut à {X(t)=\lambda\text{e}^{t^{2}}}, avec {\lambda\in\mathbb{R}}.

  2. Toute solution de (*) reste constante le long des arcs du plan d’équation {x\text{e}^{-t^{2}}=\lambda}.

    L’idée est d’effectuer un changement de variables et que {y=x\text{e}^{-t^{2}}} soit l’une des deux nouvelles variables.

    Le changement de variable {\Phi\colon (t,x)\mapsto (t,y)} est une bijection de {\mathbb{R}^{2}} sur lui-même.

    Il est de classe {\mathcal{C}^{1}} ainsi que sa bijection réciproque : {\Phi^{-1}\colon (t,y)\mapsto (t,x)} avec {x=y\text{e}^{t^{2}}}.

    C’est donc un « bon » changement de variable.

    On remarque l’égalité {\dfrac{\partial x}{\partial t}(t,y)=2ty\text{e}^{t^{2}}=2tx}.

    On peut alors poser {u(t,x)=u\bigl(t,y\text{e}^{t^{2}}\bigr)=v(t,y)}, ce qui définit une nouvelle fonction inconnue {v\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})}. Dans ces conditions : {\begin{array}{rl}\forall\,(t,y)\in\mathbb{R}^{2},\;\dfrac{\partial v}{\partial t}(t,y)&=\dfrac{\partial u}{\partial t}(t,x)+\dfrac{\partial x}{\partial t}(t,y)\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,x)\\\\&=\dfrac{\partial u}{\partial t}(t,x)+2tx\dfrac{\partial u}{\partial x}(t,x)\end{array}}Ainsi (*) équivaut à (**) : {\forall\,(t,y)\in\mathbb{R}^{2},\;\dfrac{\partial v}{\partial t}(t,y)=0}.

    Mais (**) équivaut à l’existence de {\Psi\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})} telle que : {\forall\,(t,y)\in\mathbb{R}^{2},\;v(t,y)=\Psi(y)}.

    Les solutions de (*) sont donc les fonctions {u\colon\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R},\;(t,x)\mapsto\Psi\bigl(x\text{e}^{-t^{2}}\bigr)}.

    Mais la condition {\forall\, x\in\mathbb{R},\;u(0,x) = u_{0}(x)} équivaut à {\Psi=u_{0}}.

    La seule solution de (*) est donc l’application {u\colon\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}} définie par {u(t,x)=u_{0}\bigl(x\text{e}^{-t^{2}}\bigr)}.