Endomorphisme et polynômes

Publié le 20/02/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soient {n} dans \mathbb{N}, {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}.
Soit {\varphi} l’endomorphisme de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à un polynôme P associe le reste de la division euclidienne de {AP} par {B}.

  1. Montrer que si {A} et {B} sont sans racine commune, alors {\varphi} est un isomorphisme.
  2. On suppose que toutes les racines de {B} sont simples.
    Que dire des valeurs propres de {\varphi}?
    Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

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