Le collectionneur, épisode 2

Publié le 08/02/17

Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On se propose ici de retrouver l’expression de {\text{E}(X)} par une méthode différente.
On note {e_{n}} l’espérance du nombre d’achats pour compléter la collection sachant qu’on dispose déjà de {n} figurines (avec {0\le n\le N}). On cherche donc {e_{0}}.

  1. Montrer l’égalité : {e_n=\Bigl(1-\dfrac{n}{N}\Bigr)e_{n+1}+\dfrac{n}{N}e_{n}+1}
  2. Que vaut {e_{N}}? En déduire {\text{E}(X)}.

  1. Considérons un collectionneur ayant n figurines, avec {0\le n\le N-1}.

    • Il achète une tablette donc une figurine (cela augmente de {1} l’espérance totale).

    • La probabilité qu’il l’ait déjà est {\dfrac{n}{N}}.
      Sa situation étant inchangée, il ajoute l’espérance {e_{n}}.
    • La probabilité qu’il ne l’ait pas est {1-\dfrac{n}{N}}.
      Il lui reste à ajouter l’espérance {e_{n+1}}.

    Ainsi : {e_{n}=1+\dfrac{n}{N}e_{n}+\Bigl(1-\dfrac{n}{N}\Bigr)e_{n+1}}.

  2. On a bien sûr e_N=0 (l’album est complet, c’est fini).

    Le résultat précédent s’écrit : {\Bigl(1-\dfrac{n}{N}\Bigr)(e_{n}-e_{n+1})=1}.

    Ainsi {e_{n}-e_{n+1}=\dfrac{N}{N-n}}, et on retrouve \text{E}(X) : {\begin{array}{rl}\text{E}(X)&=e_{0}=e_{0}-e_{N}=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}(e_{n}-e_{n+1})\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}\dfrac{N}{N-n}=N\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n}\end{array}}