Une équation dans C

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Résoudre dans {\mathbb{C}} l’équation : {\biggl(\dfrac{1-iz}{1+iz}\biggr)^{n}=\dfrac{1-ia}{1+ia}\ } (où {a \in\mathbb{R}} et {n\in\mathbb{N}^{*}}).
On pose {a=\tan(\,\theta)}, avec {-\dfrac{\pi}{2}\lt \,\theta\lt \dfrac{\pi}{2}}.

Avec ces notations : {\dfrac{1-ia}{1+ia}=\dfrac{1-i\tan(\,\theta)}{1+i\tan(\,\theta)}=\dfrac{\text{e}^{-i\,\theta}}{\text{e}^{i\,\theta}}=\text{e}^{-2i\,\theta}}.

Dans ces conditions, avec {\varphi_{k}=\dfrac{\,\theta+k\pi}{n}} : {\biggl(\dfrac{1-iz}{1+iz}\biggr)^{n}=\text{e}^{-2i\,\theta}\Leftrightarrow \exists\, 0\le k \lt n,\;\dfrac{1-iz}{1+iz}=\text{e}^{-2i\varphi_k}}On a ensuite les équivalences suivantes :
\begin{array}{rl}\dfrac{1-iz}{1+iz}&=\text{e}^{-2i\varphi_k}\Leftrightarrow (1+iz)\text{e}^{-2i\varphi_k}=1-iz\\\\&\Leftrightarrow iz(1+\text{e}^{-2i\varphi_k})=1-\text{e}^{-2i\varphi_k}\\\\&\Leftrightarrow 2iz\cos(\varphi_k)\text{e}^{-i\varphi_k}=2i\sin(\varphi_k)\text{e}^{-i\varphi_k}\\\\&\Leftrightarrow z=\tan(\varphi_k)\end{array}On trouve donc les {n} solutions réelles {z_{k}(a)=\tan\Bigl(\dfrac{\,\theta+k\pi}{n}\Bigr)}, avec {k\in[[ 0,n-1]]}.

    Remarques :

  • On a : {-\dfrac{\pi}{2}\lt \varphi_0\lt \cdots\lt \varphi_k\lt \cdots\lt \varphi_{n-1}\lt \pi}.
    Il en résulte que les {z_k(a)} sont distincts deux à deux.
  • Le cas {\varphi_k=\dfrac{\pi}{2}} ne se produit que si {\theta=0} (c’est-à-dire {a=0}) et {k=\dfrac{n}{2}} (donc {n} pair).
    Dans ce cas, la solution {z_{n/2}(0)} n’est pas définie.