Un déterminant et un polynôme

Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer le déterminant : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}}.
Il est clair que {P_n} est un polynôme en {x}, unitaire, de degré {n}.
Soit {j} dans {[[ 1,n]]}.
Dans le déterminant {P_n(a_j)}, on peut factoriser {a_j} tout au long de la {j}ème colonne.
Écrivons {P(a_{j})=a_{j}\Delta_{j}} (la {j}ème colonne de {\Delta_{j}} ne contient que des {1}).
Dans {\Delta_j}, on effectue les opérations {C_{i}\leftarrow C_{i}-a_iC_{j}} pour {i\in[[ 1,n]]\setminus\{j\}}.
On obtient un déterminant diagonal (à l’exception de la colonne {j}).
Ses coefficients diagonaux sont {1} et les {a_{j}-a_{i}} pour {j\ne i}.
Par exemple si {n=5} et {j=2} :
{\begin{array}{rl}P_5(a_2)&=a_2\begin{vmatrix}a_2 & 1 & a_3 & a_4 & a_5 \\ a_1 & 1 & a_3 & a_4 & a_5 \\ a_1 & 1 &a_2 & a_4 & a_5 \\ a_1& 1 & a_3 & a_2 &a_5 \\ a_1 & 1& a_3 & a_4&a_2\end{vmatrix}\\\\&=a_2\begin{vmatrix}a_2-a_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 1 &a_2-a_3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a_2-a_4 &0 \\ 0 & 1& 0 & 0&a_2-a_5\end{vmatrix}\\\\&=a_2(a_2-a_1)(a_2-a_3)(a_2-a_4)(a_2-a_5)\end{array}}

Plus généralement, par développement, on trouve: {\forall\, j\in[[ 1,n]],\;P_n(a_j)=a_j\displaystyle\prod_{i\ne j}(a_j-a_i)}On en déduit, en utilisant les polynômes interpolateurs de Lagrange :

P_n(X)=\;\displaystyle\sum_{j=1}^{n}P_n(a_j)\,\displaystyle\prod_{i\ne j}\dfrac{X-a_i}{a_j-a_i}=\;\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_j\,\displaystyle\prod_{i\ne j}(X-a_i)On peut préférer la forme suivante: {P_n(X)=\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_i}{X-a_i}\biggr)\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(X-a_i)}.