Suite d’intégrales et série

Publié le 10/01/17
Sur mobile, on recommande le "mode paysage"

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
1. Montrer que les {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sont intégrables sur {]0,1[}.

\quadOn note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.

2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}. En déduire un équivalent de {I_{n}}.

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