Rang d’une matrice par blocs

Publié le 13/01/17

Soit {M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B}.
La matrice triangulaire par blocs {N=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\ 0&I_{n}\end{pmatrix}} est inversible.

La matrice MN a donc le même rang que la matrice M.

Mais {MN=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\ 0&I_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_{p}&0\\ CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}

Ainsi : {\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow \text{rg}(MN)=p\Leftrightarrow D-CA^{-1}B=0}.