Produit de deux sous-groupes

Publié le 06/01/17

Soient {H} et {K} deux sous-groupes d’un groupe {G}.
On note {HK=\{hk, h\in H, k\in K\}} et {KH=\{kh, k\in K, h\in H\}}.
Montrer que {HK} est un sous-groupe de {G} si et seulement si {HK=KH}.
  • On suppose que {HK} est un sous-groupe de {G}.
    Soit {x} dans {HK}. Son inverse {x^{-1}} est encore dans {HK}.
    Ainsi : {\exists\,(h,k)\in(H,K)} tel que {x^{-1}=hk}.
    On a alors {x=(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}}, donc {x\in KH}.
    On a ainsi prouvé {HK\subset KH}.
    De même soit {y\in KH}. On écrit {y=kh} avec {k\in K} et {h\in H}.
    Ainsi {y^{-1}=h^{-1}k^{-1}} est dans le sous-groupe {HK}.
    Son inverse {y} est donc lui-même dans {HK}.
    Ainsi on a l’inclusion {KH\subset HK} et finalement l’égalité {HK=KH}.

  • Réciproquement on suppose que {HK=KH}.
    Montrons que {HK} est un sous-groupe de {G}.
    Soient {a=h_1k_1} et {b=h_2k_2} dans {HK} ({h_1\in H, h_2\in H,k_1\in K, k_2\in K)}.
    On doit prouver que {b^{-1}a} appartient encore à HK.
    Or {b^{-1}a=k_2^{-1}h_2^{-1}h_1k_1}.
    L’élément {k_2^{-1}} est dans {K} et {h_2^{-1}h_1} est dans {H}.
    En utilisant {KH=HK} : {\exists (h_3,k_3)\in H\times K,\;(k_2^{-1})(h_2^{-1}h_1)=h_3k_3}.
    On peut donc écrire {b^{-1}a=h_3k_3k_1}, avec {h_3\in H} et {k_3k_1\in K}.
    Il en découle {b^{-1}a\in HK}. Ainsi {HK} est un sous-groupe de {G}.

Voir aussi :