Polygônes réguliers

Publié le 03/01/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soit n\in\mathbb{N}, n\ge 3. On pose \omega=\text{e}^{2i\pi/n}
Soit {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} (avec {1\le r\le n-2} et {1\le s\le n}) dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.

1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Vérifier que : {\forall\, k\in [[1,n- 1]],\;\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{k\ell} = 0}. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.

  1. Soit {Z_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} de terme général {(\omega^{(r-1)(s-1)})} (avec {1\le r\le n} et {1\le s\le n}).

    C’est la matrice de Vandermonde des {(\omega^{k})_{0\le k\le n-1}} distintcs, donc {Z_{n}} est inversible.

    La matrice {W_{n}} est formée des lignes de rang {2} à {n-1} de {Z_{n}}.

    Ces lignes sont libres, donc {\text{rg}(W_{n})=n-2}.

    Remarque : {W_{n}} étant de taille {(n-2)\times n}, on a {\dim(\text{Ker}(W_{n}))=n-\text{rg}(W_{n})=2}.

  2. Pour {k\in[[ 1,n-1]]}, soit {q=\omega^{k}}.

    On a {q\ne1} et {q^{n}=1} donc {S_{k}=\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{k\ell}=\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}q^{\ell}=\dfrac{1-q^{n}}{1-q}=0}.

    En particulier, posons {U=(1,1,\ldots,1)} et {V=(1,\omega,\ldots,\omega^{n-1})}.

    Pour {k\in[[ 1,n-2]]} on a : {[W_{n}U]_{k}=\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{k\ell}=0} et {[W_{n}V]_{k}=\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{(k+1)\ell}=0}.

    Ainsi {W_{n}U=W_{n}V=0} : les vecteurs {U} et {V} forment une base de {\text{Ker}(W_{n})}.

  3. On considère ici des points {A_{k}} d’affixe {a_{k}} dans le plan complexe.

    Soit le polygône {{\mathcal P}=A_{0}A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1}}.
    On note {G} le centre de gravité de {{\mathcal P}}, d’affixe {g=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}}.
    Posons {A=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}.

    Dire que {{\mathcal P}} est régulier direct, c’est dire : {\forall\, k\in[[ 0,n-1]],\;a_{k}-g=\omega^{k}(a_{0}-g)}.

    Cela équivaut à {A=\alpha U+\beta V}, avec {\begin{cases}\alpha=g\\\beta=a_{0}-g\end{cases}} (donc {\alpha,\beta} quelconques).

    Cela équivaut donc à : {A\in\text{Ker}(W_{n})}.