Question de point fixe

Publié le 17/01/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {(E,\|\;\|)} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {\forall (x,y)\in K^2}, {x\ne y} {\Rightarrow} {\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}.
1. Montrer qu’il existe un unique {c\in K} tel que {f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K}. On pose: {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que la suite {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.
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