Question de point fixe

Publié le 17/01/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {(E,\|\;\|)} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {\forall (x,y)\in K^2}, {x\ne y} {\Rightarrow} {\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}.
1. Montrer qu’il existe un unique {c\in K} tel que {f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K}. On pose: {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que la suite {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.

  1. Supposons par l’absurde qu’il existe {c\ne d} dans {K} avec {\begin{cases}f(c)=c\\f(d)=d\end{cases}}.
    Alors {\|f(c)-f(d)\|= \|c-d\|} (contradiction).

    Remarquons que {f} est continue sur {K} (car {1}-lipschitzienne).

    Ainsi {\varphi\colon x\mapsto\left\|{f(x)-x}\right\|} est continue sur le fermé borné {K}.

    Elle y atteint son minimum m en un point {c} de {K}.

    Par l’absurde, supposons {f(c)\ne c}.

    Alors {\varphi(f(c))=\left\|{f(f(c))-f(c)}\right\|\lt \left\|{f(c)-c}\right\|=m}.

    Mais cela contredit la définition de {m}.

    On a donc l’existence de {c\in K} tel que {f(c)=c}, et on a vu qu’un tel {c} est unique.

  2. Puisque {f(K)\subset K}, les {x_n} forment bien une suite du fermé borné {K}.

    Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on a {\left\|{x_{n+1}-c}\right\|=\left\|{f(x_{n})-f(c)}\right\|\le\left\|{x_n-c}\right\|}
    (NB: l’inégalité est large au cas où {x_n=c}).

    Ainsi la suite {n\mapsto\left\|{x_n-c}\right\|} décroit donc converge vers {\lambda\ge0}.

    Il reste à montrer que {\lambda=0}.

    Mais les x_n forment une suite du fermé borné {K}.

    On peut donc en extraire une suite convergente {(y_n=x_{\varphi(n)})} vers {\ell\in\mathbb{K}}.

    On a alors {\lambda=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left\|{x_n-c}\right\|=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left\|{y_n-c}\right\|=\left\|{\ell-c}\right\|}.

    Il suffit donc de prouver {\ell=c}.

    Par continuité de {f}, la suite {(f(y_n))_{n\ge0}} converge vers {f(\ell)}.

    Mais les {f(y_n)=x_{\varphi(n)+1}} forment une suite extraite de {(x_n)_{n\ge0}}.

    On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left\|{f(y_n)-c}\right\|=\lambda}.

    Ainsi {\left\|{f(\ell)-f(c)}\right\|=\lambda=\left\|{\ell-c}\right\|}, donc {\ell=c}, donc {\lambda=0}.

    Conclusion: {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left\|{x_n-c}\right\|=0}, c’est-à-dire {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=c}.