Interversion série-intégrale

Publié le 15/01/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.

Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}}.

  • Par hypothèse, la suite {n\mapsto \dfrac{1}{u_{n}}} est décroissante et converge vers {0}.

    On peut donc appliquer le théorème spécial des séries alternées.

    La convergence de la série de terme général {\dfrac{(-1)^n}{u_n}} en résulte.

  • Les fonctions {f_{n}\colon x\mapsto (-1)^ne^{-u_nx}} sont continues par morceaux sur {\mathbb{R}^{+}}.

    Elles sont intégrables car {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2}f_{n}(x)=0}.

    Pour {n\in\mathbb{N}}, on a : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}f_{n}(x)\,\text{d}x&=(-1)^{n}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}e^{-u_{n}x}\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}\Bigl[-\text{e}^{-u_{n}x}\Bigr]_{0}^{+\infty}=\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}\end{array}}

  • On pourrait songer à utiliser le théorème d’intégration terme à terme.

    Malheureusement, ses hypothèses ne sont pas toutes réunies.

    En effet, avec {I_{n}=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}\left|{f_{n}(x)}\right|\,\text{d}x=\dfrac{1}{u_{n}}}, on ignore la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}I_{n}}.

    On va donc utiliser le caractère alterné de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_{n}(x)}.

    Posons {S_{N}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{N}f_{n}(x)} et {R_{N}(x)=\displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty}(-1)^nf_{n}(x)}.

    On sait que {\left|{R_{N}(x)}\right|\le \left|{f_{N+1}(x)}\right|=\exp\bigl(-u_{N+1}\,x\bigr)} (théorème spécial).

    En particulier {R_{N}} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.

    Mais {S_{N}\in\mathcal{L}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} (somme finie de fonctions intégrables).

    On en déduit l’intégrabilité de {x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_{n}(x)}.

  • Avec ces notations : {\begin{array}{rl}\int_{\mathbb{R}^+}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_{n}(x)\,\text{d}x&=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}S_{N}(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}R_{N}(x)\,\text{d}x\\\\&=\displaystyle\sum_{n=0}^{N}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}+\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}R_{N}(x)\,\text{d}x\quad(\star)\end{array}}De plus {\biggl|\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}R_{N}(x)\,\text{d}x\biggr|\le\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}\left|{R_{N}(x)}\right|\,\text{d}x\le \dfrac{1}{u_{N+1}}}.

    Il en résulte {\displaystyle\lim_{N\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^+}R_{N}(x)\,\text{d}x=0}.

    Quand {N} tend vers {+\infty} dans {(\star)}, on obtient bien : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}}