Une intégrale à paramètre

Publié le 31/01/17

Soit {f\colon x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}. On rappelle : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt\pi}{2}}

1. Domaine de {f\,}? Montrer que {f} est dérivable sur {\mathbb{R}^{+*}}.
2. Donner un équivalent simple de {f'} au voisinage de {+\infty}.
3. Donner un développement de {f} à deux termes en {+\infty}.

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