Forme linéaire, matrices semblables

Publié le 16/01/17

Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}.
2. On suppose que : {\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}.
\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.

  1. Pour {A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, {\psi_A\colon M\mapsto\text{tr}(AM)} est une forme linéaire sur {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}.

    Clairement, {\psi\colon A \mapsto \psi_A} est linéaire de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} dans {\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\mathbb{C})}.

    Soit {A\in\text{Ker}(\psi)}. Alors {\text{tr}(AE_{i,j})=0} pour les {E_{i,j}} de la base canonique de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}.

    Mais {\text{tr}(AE_{i,j})=a_{j,i}}. Ainsi {A=0}, donc {\psi} est injective.

    Or {\dim(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}))=\dim(\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\mathbb{C})=n^2}, donc \psi est un isomorphisme.

    Ainsi : {\begin{cases}\forall\varphi\in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\mathbb{C}),\;\exists\,! A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\\\forall\, M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)\end{cases}}

  2. Soit {\varphi} une forme linéaire sur {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} invariante par similitude.

    On sait qu’il existe {A} telle que : {\forall\, M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}.

    Avec ces notations : {\begin{cases}\forall\, P\in \text{GL}_n(\mathbb{C}),\;\forall\, M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\\\text{tr}(AM)= \text{tr}(AP^{-1}MP)=\text{tr}(PAP^{-1}M)\end{cases}}Ou encore : {\forall\, M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;\text{tr}\left((PAP^{-1}-A)M\right)=0}.

    Ce résultat implique {PAP^{-1}-A=0}, c’est à dire {PA=AP}.

    La matrice {A} commute avec toute matrice inversible donc avec les {I_{n}+E_{i,j}}.

    Ainsi {M} commute avec les {E_{i,j}}, donc avec toute matrice de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}).

    Il existe donc {\lambda\in\mathbb{C}} tel que {M=\lambda I_{n}} (classique).

    Avec ces notations, on a bien: {\forall\, M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)=\lambda\text{tr}(M)}.

    Réciproquement les formes linéaires {\varphi=\lambda\text{tr}(M)} vérifient : {\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}