Forme linéaire, matrices semblables

Publié le 16/01/17

(cet exercice est tiré de l’oral Mines-Ponts Psi 2015))
Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}.
2. On suppose que : {\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}.
\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.
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