Exp(A), avec A antisymétrique

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soient {(a, b, c)\in\,\mathbb{R}^{3}} et {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer qu’il existe {\,\theta\in\mathbb{R}} tel que {A^{3}=-\,\theta A}.
2. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\,\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}. Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
\quadCalculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tels que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.

  1. On trouve {A^{2}=\begin{pmatrix}-b^2-c^2 & -a b & -a c \\ -a b & -a^2-c^2 & b c \\ -a c & b c & -a^2-b^2\end{pmatrix}}.

    Ensuite {A^{3}=-\theta A}, avec {\,\theta=a^{2}+b^{2}+c^{2}}.

  2. L’égalité {A^{2n}=(-\,\theta)^{n-1}A^{2}} est triviale si {n=1}.

    Si c’est vrai pour {n\ge1}, alors {A^{2(n+1)}=A^{2n}A^{2}=(-\,\theta)^{n-1}A^{4}=(-\,\theta)^{n}A^{2}} (cqfd).

    Remarque: pour {n\ge1}, on a {A^{2n+1}=(-\,\theta)^{n-1}A^{3}=(-\,\theta)^{n}A} (vrai aussi pour {n=0}).

  3. Posons {\lambda=\sqrt{\,\theta}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}. Pour tout {n\ge1}, on trouve:
    {\begin{array}{rl}S_{2n}&=I_{3}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{(2k+1)!}A^{2k+1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2k)!}A^{2k}\\\\&=I_{3}+\biggl(\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^{k}\lambda^{2k}}{(2k+1)!}\biggr)A+\biggl(\,\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}\lambda^{2k-2}}{(2k)!}\biggr)A^{2}\end{array}}NB: pour {S_{2n+1}}, la 1ère somme va de {k=0} à {k=n} (ça ne change rien).

    On suppose {(a,b,c)\ne0}, sans quoi {A=0} et {S_{n}=I_{3}} donc {S_{\infty}=I_{3}}.

    D’une part : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\;\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^{k}\lambda^{2k}}{(2k+1)!}=\dfrac1\lambda\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k}\lambda^{2k+1}}{(2k+1)!}=\dfrac{\sin\lambda}{\lambda}}

    D’autre part :{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}\lambda^{2k-2}}{(2k)!}=-\dfrac{1}{\lambda^{2}}\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k}\lambda^{2k}}{(2k)!}=\dfrac{1-\cos\lambda}{\lambda^{2}}}

    Conclusion : {S_{\infty}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=I_{3}+\dfrac{\sin\lambda}{\lambda}A+\dfrac{1-\cos\lambda}{\lambda^{2}}A^{2}}.