DSE de arctan(1+x)

Publié le 14/01/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010 & 2015)
Développer {f(x)=\text{arctan}(1+x)} en série entière.
La fonction {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur \mathbb{R}, et :
{\forall\, x\in\mathbb{R},\;f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2+1}=\dfrac{\alpha}{x+1-i}+\dfrac{\overline{\alpha}}{x+1+i}}où on a posé {\alpha=\dfrac{1}{2i}=-\dfrac{i}{2}}

Ainsi {f'(x)=2\,\text{Re}\biggl(\dfrac{\alpha}{x+1-i}\biggr)=\text{Im}\biggl(\dfrac{1}{x+1-i}\biggr)}.

Mais {\dfrac{1}{x+1-i}=\dfrac{1}{1-i}\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{1-i}}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n-1}}{(1-i)^{n}}}.

Le rayon de convergence de f', donc de {f}, est {R=\left|{1-i}\right|=\sqrt2}.

Mais {\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\text{e}^{i\pi/4}}.

Ainsi {\dfrac{1}{x+1-i}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}2^{-n/2}\text{e}^{in\pi/4}x^{n-1}}.

Par primitivation, sachant que f(0)=\dfrac{\pi}{4} :{\forall\, x\in\,\big]\!-\!\sqrt2,\sqrt2\big[,\;f(x)=\dfrac{\pi}{4}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}2^{-n/2}\sin\Bigl(n\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\dfrac{x^{n}}{n}}