Une série génératrice

Publié le 03/12/16
Sur mobile, on recommande le "mode paysage"

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}. En particulier {a_0=a_1=1}.
Soit {R} le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}. Montrer {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {\forall n\ge 2,\;\;na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}
(pour une preuve de ce résultat, voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R} et exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.
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