Une série génératrice

Publié le 03/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}. En particulier {a_0=a_1=1}.
Soit {R} le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}. Montrer {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {\forall n\ge 2,\;\;na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}
(pour une preuve de ce résultat, voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R} et exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.
Posons {P_n(X)=(X^2+X+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}b_{n,k}X^k} (avec ces notations, {a_n=b_{n,n}}).
On a : {0\le a_{n}\le \displaystyle\sum_{j=0}^{2n}b_{n,j}=P_n(1)=3^n}, et il en résulte : {R\ge\dfrac{1}{3}}.

De la relation entre {a_n,a_{n-1},a_{n-2}}, on déduit les égalités suivantes, sur ]\!-\!R,R[:

{\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}na_n x^n&=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}(2n-1)a_{n-1}x^n+3\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}(n-1)a_{n-2}x^n\\\\&=2\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}(n-1)a_{n-1}x^n+\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}a_{n-1}x^n+3\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}(n-2)a_{n-2}x^n+3\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}a_{n-2}x^n\\\\&=2x^2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}na_{n}x^{n-1}+x\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}x^{n}+3x^3\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}na_{n}x^{n-1}+3x^2\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}\end{array}}Autrement dit, pour tout x de {]\!-\!R,R[} :
{x(f'(x)-a_1)=2x^2f'(x)+x(f(x)-a_0)+3x^3f'(x)+3x^2f(x)}C’est-à-dire : {\forall\, x\in]\!-\!R,R[,\;(3x^2+2x-1)f'(x)+(1+3x)f(x)=0.}

Ainsi {f} est la solution telle que {f(0)=1} de {(E):~(3x^2+2x-1)y'+(1+3x)y=0}.

On trouve, et le résultat confirme que R=\dfrac{1}{3} :
{\begin{array}{rl}f(x)&=\exp\biggl(\displaystyle\int_0^x\dfrac{1+3t}{1-2t-3t^2}\,\text{d}t\biggr)=\exp\biggl(-\dfrac{1}{2}\ln(1-2x-3x^2)\biggr)\\\\&=\dfrac{1}{\sqrt{1-2x-3x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{(1+x)(1-3x)}}\end{array}}