Un développement asymptotique

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera
\quadDonner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.
Dans tout l’exercice \sim signifie équivalent quand \;n\to+\infty.

  1. Dans {\mathbb{R}^{+*}}, on a : {\text{e}^x=x^n\Leftrightarrow x=n\ln x \Leftrightarrow f(x)=\dfrac{1}{n}}, où {f\colon x\mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}}.
    On trouve : {f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^{2}}}.
    Ainsi {f} réalise une bijection strictement croissante, notée {f_{1}}, de {]0,\text{e}]} sur {\Bigl]-\infty,\dfrac{1}{\text{e}}\Bigr]}.
    C’est aussi une bijection strictement croissante {f_{2}} de {[\text{e},+\infty[} sur {\Bigl]0,\dfrac{1}{\text{e}}\Bigr]}.
    Si {n\ge3}, on a {0\lt \dfrac{1}{n}\lt \dfrac{1}{\text{e}}}.

    Ainsi {f(x)= \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow x\in\{u_{n},v_{n}\}}, avec {0\lt u_{n}=f_{1}^{-1}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)\lt \text{e} \lt v_{n}=f_{2}^{-1}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.

  2. Si n\ge3, {u_{n}=f_{1}^{-1}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}, et {f_{1}^{-1}} continue décroit strictement de {\Bigl]-\infty,\dfrac{1}{\text{e}}\Bigr]} sur {]0,\text{e}]}.

    On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=f(0)=1} car {f(1)=0}.

    Posons {u_{n}=1+\varepsilon_{n}} pour {n\ge3}.

    On a {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\varepsilon_{n}=0^{+}}, donc {\dfrac{1}{n}=\dfrac{\ln (1+\varepsilon_n)}{1+\varepsilon_n}\sim\varepsilon_n}. Ainsi {u_n-1\sim\dfrac{1}{n}}.

  3. Si {n\ge3}, on a {v_{n}=f_{2}^{-1}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}, et {f_{2}^{-1}} continue décroit strictement de {\Bigl]0,\dfrac{1}{\text{e}}\Bigr]} sur {[\text{e},+\infty[}.

    On en déduit {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\displaystyle\lim_{0}f_2^{-1}=+\infty} car {\displaystyle\lim_{+\infty}f_{2}=0}.

    Pour {n\ge3}, on a {v_n=n\ln(v_n)>e} donc {\ln(v_n)=\ln(n)+\ln(\ln(v_n))}.

    Or {\lim \ln(v_n)=+\infty} donc {\ln(\ln(v_n))={\text{o}}(\ln(v_n))}.

    Il en résulte : {\ln(v_n)\sim\ln(n)} donc: {v_n=n\ln(v_n)\sim n\ln(n)}.

  4. Pour {n\ge 3}, on pose {v_n=n\ln(n)+\varepsilon_{n}}. On a donc : {\varepsilon_n={\text{o}}(n\ln(n))}. Ainsi : {\begin{array}{rl}\varepsilon_n&= v_n-n\ln(n)=n\ln(v_n)-n\ln(n)=n\ln\left(\dfrac{v_n}{n}\right)\\&=n\ln\left(\ln(n)+\dfrac{\varepsilon_n}{n}\right)\sim n\ln(\ln(n))\text{ car }\dfrac{\varepsilon_n}{n}={\text{o}}(\ln(n))\end{array}}

    On en déduit finalement: {v_n=n\ln(n)+n\ln( \ln(n))+{\text{o}}(n\ln( \ln(n)))}.