Trace et déterminant

Publié le 21/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_3(\mathbb{C})} telle que {\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}.
Montrer que {\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}.

On utilise la possibilité de trigonaliser {A} dans {\mathcal{M}_3(\mathbb{C})}.
Soit {\text{Sp}(A)=\{\alpha,\beta,\gamma\}} le spectre de A (avec répétitions possibles).
Alors {\text{Sp}(A^2)=\{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2\}} et {\text{Sp}(A^2+I_3)=\{\alpha^2+1,\beta^2+1,\gamma^2+1\}}
On a les égalités : {\begin{cases}\det(A)=\alpha\beta\gamma\cr\text{tr}(A)=\alpha+\beta+\gamma=0\cr\text{tr}(A^2)=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0\end{cases}}

Il en découle : {\begin{cases}\det(A^2+I_3)&=(\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1)\\&=(\det A)^2+\alpha^2\beta^2+\alpha^2\gamma^2+\beta^2\gamma^2+1\end{cases}}

Mais {0=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)}.
On en déduit : {\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=0}.
Ainsi : {\alpha^2\beta^2+\alpha^2\gamma^2+\beta^2\gamma^2=(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=0}.
Finalement : {\det(A^2+I_3)=(\det A)^2+1}.