Polynômes scindés simples

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soit {P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]} de degré {n\ge 1}, scindé simple dans \mathbb{R}.
Montrer que le polynôme {P} n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.

Notons {x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_n} les racines (toutes réelles et distinctes) de {P}.
On applique le théorème de Rolle à P sur chaque {[x_i,x_{i+1}]}.
On en déduit l’existence de {n-1} racines distinctes de {P'}.
Ainsi {P'} est scindé simple sur {\mathbb{R}}, tout comme (récurrence évidente) {P'',\ldots,P^{(n-1)}}.
Par l’absurde, on suppose qu’il existe {k\in[\![ 0,n-1]\!]} tel que {a_k=0} et {a_{k+1}=0}.
Il existe alors {Q\in\,\mathbb{R}_{n-2}[X]} tel que: {P^{(k)}=\displaystyle\sum_{m=k}^{n}a_{m}\dfrac{m!}{(m-k)!}X^{m-k}=k!\,a_{k}+(k+1)!\,a_{k+1}X+X^{2}Q(X)=X^{2}Q(X)}Ainsi {P^{(k)}} possède une racine double, ce qui est absurde car on sait qu’il est scindé simple.
Conclusion : il n’y a pas d’entier k dans {[\![ 0,n-1]\!]} tel que {a_k=a_{k+1}=0}.