Matrices de trace nulle

Publié le 04/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, avec {n\ge1}. On suppose {\text{tr}(M)=0}.
Montrer que {M} est semblable à une matrice de coefficients diagonaux tous nuls.
C’est évident si {n=1}, car la seule matrice possible est {(0)}.

On suppose la propriété vraie au rang {n\ge1}. Soit {M\in\,\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{K})}, avec {\text{tr}(M)=0}.

Soit {u} l’endomorphisme de {\mathbb{K}^{n+1}} dont la matrice est {M} dans la base canonique.

Si {u} est une homothétie ({u=\lambda \text{Id}}) alors {u=0} (car {\text{tr}(u)=\lambda}) donc M=0 et c’est fini.

Sinon, il existe {x_{1}} non nul dans {\mathbb{K}^{n+1}} tel que {x_{2}=u(x_{1})} ne soit pas colinéaire à {x_{1}}.

On forme alors une base {\mathcal{B}} de {\mathbb{K}^{n+1}} en complétant la famille {x_{1},x_{2}}.

La matrice de {u} dans \mathcal{B} s’écrit {N=\begin{pmatrix} 0&X\\Y&Z\end{pmatrix}}, où {\begin{cases}Z\in\,\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\text{tr}(Z)=0\\Y=(1,0,\ldots,0)^{\top}\end{cases}}

On applique alors l’hypothèse de récurrence à la matrice Z.

Il existe donc {P\in{\text{GL}}_{n}(\mathbb{K})} et {W\in\,\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de diagonale nulle, telles que {P^{-1}ZP=W}.

On définit enfin la matrice {Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&P\end{pmatrix}\in{\text{GL}}_{n+1}(\mathbb{K})}.

Alors la matrice {R=Q^{-1}NQ=\begin{pmatrix} 0&XP\\P^{-1}Y&W\end{pmatrix}} est à diagonale nulle.

Par construction, M est semblable à N, elle-même semblable à R.

Cela prouve la propriété au rang n+1 et achève la récurrence.