Matrices de trace nulle (bis!)

Publié le 05/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.

  • On commence par établir le résultat si M est symétrique, et par récurrence sur {n}.
    La propriété est évidente si {n=1}, car la seule matrice possible est {M={(0)}}.
    On suppose la propriété vraie au rang {n\ge1}. Soit {M\in\mathcal{S}_{n+1}(\mathbb{R})}, avec {\text{tr}(M)=0}.
    Soit {u} l’endomorphisme symétrique de {\mathbb{R}^{n+1}} canoniquement associé à {M}.
    Soit {\mathcal{B}=(\varepsilon_i)_{1\le i\le n}} une « b.o.n » de vecteurs propres de {u} pour les valeurs propres {\lambda_i}.
    Soit {x=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_i}. Alors {x\ne 0} et {\left({u(x)}\mid{x}\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\text{tr}(u)=0}.
    On complète le normé {\varepsilon'_1} de {x} en une base orthonormale {\mathcal{B}'=(\varepsilon'_i)_{1\le i\le n}} de {\mathbb{R}^n}.
    La matrice (symétrique) de {u} dans {\mathcal{B'}} est {N=\begin{pmatrix} 0&L\\{L}^{\top}&Y\end{pmatrix}}{\begin{cases}L\in\mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})\\Y\in\,\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}),\;\text{tr}(Y)=0\end{cases}}
    On applique alors l’hypothèse de récurrence à {Y}.
    Il existe donc {P\in O(n)}, et {Z\in\,\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de diagonale nulle, telles que {{P}^{\top}YP=Z}.
    On forme enfin la matrice orthogonale {Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&P\end{pmatrix}} d’ordre {n+1}.
    Alors la matrice {R={Q}^{\top}NQ=\begin{pmatrix} 0&LP\\{(LP)}^{\top}&Z\end{pmatrix}} est à diagonale nulle.
    Par construction, {M} est ortho-semblable à {N}, elle-même ortho-semblable à {R}.
    Cela prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence.
  • On revient maintenant au cas général, donc avec {M} quelconque dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
    De façon unique, {M=S+A} avec {S} symétrique et {A} antisymétrique.
    On sait qu’il existe {P\in O(n)} telle que {{P}^{\top}SP} soit de diagonale nulle.
    Tout comme A, la matrice {{P}^{\top}\!AP} est antisymétrique.
    Il en résulte que {{P}^{\top}MP={P}^{\top}SP+{P}^{\top}AP} est aussi de diagonale nulle.