Involutions et séries entières

Publié le 24/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2015)
Soit {X} un ensemble fini.
On dit que {f\colon X \rightarrow X} est une involution de {X} si {f\circ f = \text{Id}}.
Pour {n\in\mathbb{N}}, on note {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.

1. Calculer {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^*,\;I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que la série entière {S\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} possède un rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1 + x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.

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