Hyperplans et matrices inversibles

Montrer que tout hyperplan de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} contient au moins une matrice inversible.

Soit {H} un hyperplan de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {\varphi\colon{\mathcal M}_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}} linéaire telle que {H=\text{Ker}(\varphi)}.
Il reste à construire {M} dans {GL_{n}(\mathbb{K})} telle que {\varphi(M)=0}.
On note {E_{i,j}}, pour {1\le i,j\le n} les matrices de la base canonique de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.

  • On suppose qu’une matrice {E_{i,j}}, où {i\ne j}, n’est pas dans {H}. Ainsi {\varphi(E_{i,j})\ne0}.
    La matrice {M={\text{I}}_n+\alpha E_{i,j}} est inversible (triangulaire à diagonale unité).
    Elle vérifie {\varphi(M)=\varphi({\text{I}}_n)+\alpha\varphi(E_{ij})=0} si on choisit {\alpha=-\displaystyle\frac{\varphi({\text{I}}_n)}{\varphi(E_{ij})}}.

  • Il reste à traiter le cas où les {E_{ij}} avec {i\ne j} sont toutes dans H.
    Dans ce cas {M=E_{1n}+E_{21}+E_{32}+\cdots+E_{n,n-1}} est encore dans {H}.
    Mais elle est inversible (elle diffère de {{\text{I}}_n} par l’échange des colonnes {1} et {n}).