Fonctions équi-lipschitziennes

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2010)
Soit {(f_n)_{n\geq 0}} une suite de fonctions {[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}, toutes M-lipschitziennes.
On suppose que {(f_n)_{n\ge0}} converge simplement vers {f\colon [0,1]\rightarrow\mathbb{R}}.
Montrer que la convergence est uniforme.

La fonction {f} est elle aussi {M}-lipschitzienne, de même que les {g_n=f-f_n}.
Il reste à montrer que {(g_n)_{n\ge0}} converge uniformément sur {[0,1]} vers la fonction nulle.
On se donne un réel {\varepsilon>0}.
Soit {x_0=0\lt x_1\lt \ldots\lt x_p=1} avec {0\lt x_{k+1}-x_k\le\varepsilon} pour tout {k}.
Soit {x\in[a,b]}. Il existe {k} tel que {x\in[x_k,x_{k+1}]}.
Avec ces notations, et pour tout entier {n} :
\begin{array}{rl}\left|{g_n(x)}\right|&=\left|{g_n(x)-g_n(x_k)+g_n(x_k)}\right|\\\\&\le\left|{g_n(x)-g_n(x_k)}\right| +\left|{g_n(x_k)}\right|\\\\&\le M\left|{x-x_k}\right|+\left|{g_n(x_k)}\right|\\\\&\le M\varepsilon+\left|{g_n(x_k)}\right|\end{array}Pour tout k\in\{0,\ldots,p\}, la suite {n\mapsto g_n(x_k)} converge vers {0}.
Il en est alors de même de la suite {n\mapsto \lambda_n=\displaystyle\sup_{0\le k\le p}\left|{g_n(x_k)}\right|}.
Il existe donc {n_0\in\mathbb{N}} tel que {n\ge n_0\Rightarrow\lambda_n\le\varepsilon}.
Ainsi : \forall\, n\ge n_0,\; \forall\, x\in [0,1],
{\left|{g_n(x)}\right|\le M\varepsilon+\lambda_n\le(M+1)\varepsilon}Autrement dit : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sup_{x\in[0,1]}\left|{g_n(x)}\right|=0}.

La suite {(g_n)} converge donc uniformément sur [0,1] vers la fonction nulle.

En conclusion: la suite {(f_n)} converge uniformément vers f sur [0,1].