Euler 026

Publié le 22/12/16

On dira que les répresentations décimales de {1/2=0.5} et {1/5=0.2} sont finies car elles aboutissent à une répétition de décimales nulles.
En revanche, celle de {1/6} est infinie: elle s’écrit {1/6=0.1666...=0.1\overline{6}}, où {\overline{6}} désigne la répétition indéfinie du chiffre {6}.
La représentation décimale de {1/7} s’écrit {1/7=0.\overline{142857}}, en notant {\overline{142857}} la répétition indéfinie des chifres {142857}.
On exprimera cette situation en disant que le développement de {1/7} est ultimement périodique de période {6}.

Problème: on se donne un entier {N > 2}. Pour quelle valeur de {d}, avec {2\le d \lt N}, la période ultime de {1/d} est-elle la plus élevée?

Indication: pour {N=1000}, la réponse est {d=983}.

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