Équation en arc tangente

Publié le 29/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Résoudre dans \mathbb{R} : {\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}.

Notons {f\colon x\mapsto\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)}.

La fonction f est bijective strictement croissante de {\mathbb{R}} sur l’intervalle {\Bigl]-\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Bigr[}.

L’équation {f(x)=\dfrac{\pi}{2}} a donc une unique solution {\alpha} sur {\mathbb{R}}. On a {f(0)=0} donc {\alpha>0}.

Ainsi : {\arctan(\alpha-1)+\arctan(\alpha+1)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan(\alpha)=\arctan\Bigl(\dfrac{1}{\alpha}\Bigr)}.

On prend la tangente et on obtient {\dfrac{(\alpha-1)+(\alpha+1)}{1-(\alpha^{2}-1)}=\dfrac{1}{\alpha}}.

Ainsi {2\alpha^{2}=2-\alpha^{2}}, donc {\alpha^{2}=\dfrac{2}{3}} et finalement {\alpha=\sqrt{\dfrac{2}{3}}}.

Voir aussi :