Diagonalisation par blocs

Publié le 11/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et {B=}{\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}}.
À quelle condition {B} est-elle diagonalisable?

La restriction d’un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonisable.
Il en résulte que si {B} est diagonalisable, alors {A} l’est aussi.
Réciproquement, on suppose que A est diagonalisable.
On écrit donc {A=PDP^{-1}} avec {P\in{\text{GL}}_n(\mathbb{K})} et {D} diagonale.

D’abord : {\begin{pmatrix}1&2\\ 0&3\end{pmatrix}=Q\Delta Q^{-1}}, où {\Delta=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&3\end{pmatrix}}, {Q=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}} et {Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&1\end{pmatrix}}.

Posons {C=\begin{pmatrix}A&0\\ 0&3A\end{pmatrix}} et {P=\begin{pmatrix}I_{n}&I_{n}\\ 0&I_{n}\end{pmatrix}} donc {P^{-1}=\begin{pmatrix}I_{n}&-I_{n}\\ 0&I_{n}\end{pmatrix}}.

Alors {B=\begin{pmatrix}A&2A\\ 0&3A\end{pmatrix}=PCP^{-1}}.
Ainsi {B} est semblable à {C=\begin{pmatrix}A&0\\ 0&3A\end{pmatrix}}, elle-même semblable à {\begin{pmatrix}D&0\\ 0&3D\end{pmatrix}} (diagonale).

En conclusion : {B} est diagonalisable si et seulement si {A} est diagonalisable.