Développement en série entière

Publié le 13/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Déterminer le rayon de convergence de {g:x\mapsto \exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}.
NB: on retrouve cet exercice dans Centrale Psi 2010, Mines-Ponts 2013.

Par la règle de D’Alembert, le rayon de convergence de {x\mapsto f(x)=\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}} est R=1
Pour {-1\lt x\lt 1}, on a {g'(x)=g(x)f'(x)=g(x)\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n+1}}.
Ainsi {g} est la solution de {(E):~y'=f'(x)y\;} sur {]\!-\!\!1,1[} telle que {g(0)=1}.
On cherche si {(E)} a une solution {y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n} sur {]-\!r,r[}, avec {r>0}.
On trouve: {\forall\, x\in\,]\!-\!r,r[,\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n+1}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx_n}.
Par un produit de Cauchy, on a posé ici {b_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{a_{n-k}}{k+1}}.
Par identification on trouve les relations {(R_n)} : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{a_{n-k}}{k+1}=\dfrac{1}{n+1}\biggl(a_n+\dfrac{a_{n-1}}{2}+\cdots+\dfrac{a_0}{n+1}\biggr)}Réciproquement, ces relations définissent une unique suite {(a_n)_{n\ge0}} telle que {a_0=1}.
Par une récurrence évidente, on constate que : {\forall\, n\ge0,\;0\lt a_n\le1}.
Il en résulte que le rayon de convergence de {x\mapsto y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n} est au moins égal à 1.
Mais on a unicité de la solution de {(E)} sur {]\!-\!\!1,1[} avec la condition initiale {y(0)=1}.
On en déduit : {\forall\, x\in]\!-\!\!1,1[,\;g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n}, où {(a_n)} est définie comme ci-dessus.