Déterminant variable ?

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}).
Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.

Dans {\det(A+tJ)}, on retranche la première ligne à toutes les autres.
La variable t n’apparaît alors plus que dans la première ligne du déterminant.
Par développement suivant la première ligne de ce déterminant, il en résulte : {\exists\, (a,b)\in\mathbb{R}^2,\;\forall\, t\in\mathbb{R},\;\det(A+tJ)=at+b}Par ailleurs, sachant que n est pair, {{A}^{\top}=-A} et {{J}^{\top}=J} : {\det(A+tJ)=\det\bigl({(A+tJ)}^{\top}{}\bigr)=\det(-A+tJ)=\det(A-tJ)}Ainsi la fonction {t\mapsto \det(A+tJ)=at+b} est paire, donc constante.
Finalement : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;\det(A+tJ)=\det(A)}.