Le coefficient trinomial central

Publié le 02/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2010)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les a_n.
Posons {P_n(X)=(X^2+X+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}b_{n,k}X^k}. Ainsi {a_n=b_{n,n}}.

On trouve d’abord : {\forall\, n\ge 1,\; P'_n(X)=n(2X+1)(X^2+X+1)^{n-1}}.

Ensuite : {\forall\, n\ge2,\; P''_n(X)=\bigl(2n(X^2+X+1)+n(n-1)(4X^2+4X+1)\bigr)P_{n-2}(X)}.

Ainsi, pour tout {n\ge2} :
\begin{array}{rl}P''_n(X)&=\bigl(2n(2n-1)(X^2+X+1)-3n(n-1)\bigr)P_{n-2}(X)\\\\&=2n(2n-1)P_{n-1}(X)-3n(n-1)P_{n-2}(X)\end{array}Dans l’égalité précédente, on égalise les coefficients de {X^{n-2}} (et on simplifie par {n}).

On trouve : {\forall\, n\ge2,\;(n-1)a_{n}=2(2n-1)b_{n-1,n-2}-3(n-1)a_{n-2}\quad(\star)}

Par ailleurs : {P_n(X)=(X^2+X+1)P_{n-1}(X)}.

Il en résulte : {\forall\, n\ge2,\;a_{n}=b_{n-1,n-2}+a_{n-1}+b_{n-1,n}} (termes de degré {n}).

Par symétrie dans le développement de {P_{n-1}}, on a : {\forall\,n\ge1,\;b_{n-1,n-1}=b_{n-1,n+1}}.

On en déduit : {\forall\, n\ge2,\;a_{n}=2b_{n-1,n-2}+a_{n-1}}.

De retour à {(\star)}, on trouve : {\forall\, n\ge 2,\;(n-1)a_{n}=(2n-1)(a_n-a_{n-1})-3(n-1)a_{n-2}}.

En définitive : {\forall\, n\ge 2,\;\;na_n=(2n-1)a_{n-1}+3(n-1)a_{n-2}}.