Calcul d’une espérance

Publié le 06/12/16

Une urne contient b boules blanches et {r} boules rouges, avec {b\ge1} et {r\ge1}.
On effectue une succession de tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.

Dans cette question, l’entier {r\ge1} est fixé.
Soit {\text{E}_{k}(X)} l’espérance de X quand il y a {k} boules blanches (et {r} rouges) dans l’urne.
On initialise par {E_{0}(X)=0}. On cherche bien sûr {\text{E}(X)=\text{E}_{b}(X)}.
Pour {k\ge1} fixé, soit le système complet {B} et {\overline{B}}, où {B=\;}« la 1ère boule tirée est blanche« .
En utilisant la formule des probabilités totales, on trouve :{\text{E}_{k}(X)=\mathbb{P}(B)\,\text{E}_{k}(X\mid B)+\mathbb{P}(\overline{B})\,\text{E}_{k}(X\mid \overline{B})=\dfrac{k}{r+k}\text{E}_{k}(X\mid B)+\dfrac{r}{r+k}\text{E}_{k}(X\mid \overline{B})}

  • Par ailleurs, on a l’égalité : {\text{E}_{k}(X\mid B)=1+\text{E}_{k-1}(X)}.
    En effet le « +1 » est pour le premier tirage, et « {\text{E}_{k-1}(X)} » parce qu’il faut recommencer à attendre mais en partant de {k-1} boules blanches.
  • De même {\text{E}_{k}(X\mid \overline{B})=1+\text{E}_{k}(X)} (« 1 » pour le premier tirage, et {\text{E}_{k}(X)} parce qu’il faut recommencer à attendre en partant à nouveau de {k} boules blanches).

Ainsi : {\text{E}_{k}(X)=1+\dfrac{k}{r\!+\!k}\text{E}_{k-1}(X)+\dfrac{r}{r\!+\!k}\text{E}_{k}(X)} donc {\text{E}_{k}(X)=1+\dfrac{r}{k}+\text{E}_{k-1}(X)}.

Finalement : {\text{E}(X)=b+rH_{b}} où on a posé {H_{b}=\displaystyle\sum_{k=1}^{b}\dfrac{1}{k}} (somme harmonique d’indice b).

Remarque: quand {b\rightarrow+\infty}{r} fixé), on trouve {\text{E}(X)=b+r\ln(b)+r\gamma+\text{o}(1)}.