Un calcul de déterminant

Publié le 09/12/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2010)
Soit {(a,b,c)\in(\mathbb{R}^{+*})^3} avec a+b+c=\pi.
Calculer {\det(A)}, avec {A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(a) & \tan(a/2) \\ 1 & \cos(b) & \tan(b/2) \\ 1 & \cos(c) & \tan(c/2)\end{pmatrix}}.
On pose {\alpha=\tan(a/2)}, {\beta=\tan(b/2)} et {\gamma=\tan(c/2)}.

On connait la formule {\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}{t=\tan(x/2)}.

Ainsi {\text{rg}(A)=\text{rg}(B)}, où {B=\text{rg}\begin{pmatrix}1+\alpha^2&1-\alpha^2&\alpha+\alpha^3\\1+\beta^2&1-\beta^2&\beta+\beta^3\\1+\gamma^2&1-\gamma^2&\gamma+\gamma^3\end{pmatrix}}.

Remarquons que {\gamma=\tan\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{a+b}{2}\Bigr)=\dfrac{1-\alpha\beta}{\alpha+\beta}}, donc {\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=1}.

On note {\begin{cases}s=\alpha+\beta+\gamma\\p=\alpha\beta\gamma\end{cases}\!\!\!}.

Les réels {\alpha,\beta,\gamma} vérifient: {0=(t-\alpha)(t-\beta)(t-\gamma)=t^3-st^2+t-p}.

Ainsi {\begin{pmatrix}\alpha+\alpha^3\\\beta+\beta^3\\\gamma+\gamma^3\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}\alpha^2\\\beta^2\\\gamma^2\end{pmatrix}+p\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}} donc les colonnes de {B} sont liées.

Il en résulte {\det(A)=0}.