Une urne bicolore

Publié le 20/11/16

Une urne contient {a} boules blanches et {b} boules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l’urne. Soit {X} la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages effectués jusqu’au retrait des {a} boules blanches.
Déterminer la loi de {X}. Calculer {\text{E}(X)} et {\text{V}(X)}.
  • Les issues sont les parties {\omega} de cardinal {a} de {[\![ 1,a+b]\!]} représentant les positions d’apparition des {a} boules blanches. Ces issues sont équiprobables, et {\text{card}(\Omega)=\dbinom{a+b}{a}}.

    Pour obtenir les a boules blanches, il faut au moins {a} tirages, et au plus {a+b}.
    Donc {X(\Omega)=[\![ a,a+b]\!]}. Il y a {\dbinom{k-1}{a-1}} issues élémentaires qui réalisent {(X=k)}.
    Il s’agit en effet, parmi les {k-1} premiers tirages, de choisir où apparaissent les {a-1} premières boules blanches. Ainsi, pour tout k dans [\![ a,a+b]\!]:

    {\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X=k)&=\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\dbinom{k-1}{a-1}\\\\&=\dfrac{a!\,b!}{(a+b)!}\,\dfrac{(k-1)!}{(a-1)!(k-a)!}=a\dfrac{b!}{(a+b)!}\,\dfrac{(k-1)!}{(k-a)!}\end{array}}

  • On calcule maintenant l’espérance de la variable {X}.

    On va avoir besoin du résultat de l’exercice « une somme de coefficients binomiaux ».

    On a : {\text{E}(X)=\displaystyle\sum_{k=a}^{a+b}k\,\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\displaystyle\sum_{k=a}^{a+b}k\dbinom{k-1}{a-1}}.

    Mais {k\dbinom{k-1}{a-1}=k\dfrac{(k-1)!}{(a-1)!\,(k-a)!}=a\dfrac{k!}{a!(k-a)!}=a\dbinom{k}{a}}.

    Ainsi {\text{E}(X)=\dfrac{a}{\text{card}(\Omega)}\displaystyle\sum_{k=a}^{a+b}\dbinom{k}{a}=\dfrac{a}{\text{card}(\Omega)}\dbinom{a+b+1}{a+1}}.

    De plus : {\dbinom{a+b+1}{a+1}=\dfrac{a+b+1}{a+1}\dbinom{a+b}{a}=\dfrac{a+b+1}{a+1}\,\text{card}(\Omega)}.

    Ainsi {\text{E}(X)=\dfrac{a(a+b+1)}{a+1}}.

  • Pour calculer la variance de {X}, on va calculer {\text{E}(X(X+1))}.

    On a : {\text{E}(X(X+1))=\displaystyle\sum_{k=a}^{a+b}k(k+1)\,\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}\displaystyle\sum_{k=a}^{a+b}k(k+1)\dbinom{k-1}{a-1}}.

    Mais on constate que :
    {\begin{array}{rl}k(k+1)\dbinom{k-1}{a-1}&=k(k+1)\dfrac{(k-1)!}{(a-1)!\,(k-a)!}\\\\&=a(a+1)\dfrac{(k+1)!}{(a+1)!(k-a)!}=a(a+1)\dbinom{k+1}{a+1}\end{array}}Ainsi :
    {\text{E}(X(X+1))=\dfrac{a(a+1)}{\text{card}(\Omega)}\displaystyle\sum_{k=a+1}^{a+b+1}\dbinom{k}{a+1}=\dfrac{a(a+1)}{\text{card}(\Omega)}\dbinom{a+b+2}{a+2}}.

    (Remarque: on a là aussi utilisé l’exercice « une somme de coefficients binomiaux »)

    {\begin{array}{rl}\!\!\!\text{De plus :}\;\dbinom{a+b+2}{a+2}&=\dfrac{a+b+2}{a+2}\dbinom{a+b+1}{a+1}\\\\&=\dfrac{(a+b+2)(a+b+1)}{(a+2)(a+1)}\,\dbinom{a+b}{a}\\\\&=\dfrac{(a+b+2)(a+b+1)}{(a+2)(a+1)}\,\text{card}(\Omega)\end{array}}

    Il en résulte : {\text{E}(X(X+1))=\dfrac{a(a+b+2)(a+b+1)}{a+2}}.

    Ainsi :

    {\begin{array}{rl}\text{E}(X^{2})&=\text{E}(X(X+1))-\text{E}(X)=\dfrac{a(a+b+2)(a+b+1)}{a+2}-\dfrac{a(a+b+1)}{a+1}\\\\&=\dfrac{a(a+b+1)(a^{2}+2a+ab+b)}{(a+2)(a+1)}\end{array}}

    On en déduit :

    {\text{V}(X)=\text{E}(X^{2})-\text{E}(X)^{2}=\dfrac{a(a+b+1)(a^{2}+2a+ab+b)}{(a+2)(a+1)}-\dfrac{a^{2}(a+b+1)^{2}}{(a+1)^{2}}}

    Finalement :

    {\begin{array}{rl}\text{V}(X)&=\dfrac{a(a+b+1)}{(a+2)(a+1)^{2}}\Bigl((a^{2}+2a+ab+b)(a+1)-a(a+b+1)(a+2)\Bigr)\\\\&=\dfrac{ab(a+b+1)}{(a+2)(a+1)^{2}}\end{array}}