Un système différentiel

Publié le 29/11/16

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soient {n} dans {\mathbb{N}^{*}} et {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}.
Pour {k\in[\![1,n]\!]}, soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)} la matrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}, avec {1 \le k \le n}.
1. Montrer que {X} est définie et que : {\forall t \,\in\mathbb{R},\;\det(X(t))\ne 0}.
2. Établir une équation différentielle simple vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.
  1. Le théorème de Cauchy linéaire affirme l’existence et l’unicité de la solution {t\in\mathbb{R}\mapsto X_{k}(t)\in\mathbb{R}^{n}} de l’équation différentielle {X'_{k} = AX_{k}}, avec la condition initiale {X_{k}(0) = e_{k}}. La fonction matricielle {t\in\mathbb{R}\mapsto X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, de colonnes {X_{1}(t),\ldots,X_{n}(t)} est donc définie, et de manière unique.
  2. Par l’absurde, on suppose: {\exists\, t_{0}\in\mathbb{R}} tel que {\det(X(t_{0}))=0}.
    Il existe donc des réels {\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}} non tous nuls tels que : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}X_{k}(t_{0})=0}.
    Par linéarité, {t\mapsto Y(t)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}X_{k}(t)} vérifie {\begin{cases}\forall t\in\mathbb{R},\,Y'(t)=AY(t)\\Y(t_{0})=0\end{cases}}

    Par unicité de la solution du problème de Cauchy, la fonction Y est donc nulle.
    Mais c’est absurde car {X_{1}(0),\ldots,X_{n}(0)} sont libres donc {Y(0)\ne 0}.

  3. On note {\det{_{(e)}}} l’application déterminant dans la base canonique.

    On pose : {\forall\, t\in\mathbb{R},\Delta(t)=\det(X(t))=\det{_{(e)}}(X_{1}(t),X_{2}(t),\ldots,X_{n}(t))}.

    Par multilinéarité, on trouve :
    {\forall t\in\mathbb{R},\;\Delta'(t)=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\det{_{(e)}}(X_{1}(t),\ldots,X_{j-1}(t),X_{j}'(t),X_{j+1}(t),\ldots,X_{n}(t))}.

    Ainsi : {\forall t\in\mathbb{R},\;\Delta'(t)=\Psi(X_{1}(t),\ldots,X_{j-1}(t),AX_{j}(t),X_{j+1}(t),\ldots,X_{n}(t))},
    {\Psi\colon (x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto \displaystyle\sum_{j=1}^{n}\det{_{(e)}}(x_{1},\ldots,x_{j-1},Ax_{j},x_{j+1},\ldots,x_{n})}.
    L’application {\Psi} est multilinéaire alternée de {(\mathbb{R}^{n})^{n}} dans {\mathbb{R}}.

    Elle s’écrit donc {\Psi=\lambda\det{_{(e)}}}, et {\lambda=\Psi(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})}.

    On trouve:
    {\lambda=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\det{_{(e)}}(e_{1},\ldots,e_{j-1},Ae_{j},e_{j+1},\ldots,e_{n}(t))=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}[A]_{j,j}=\text{tr}(A)}

    Donc : {\forall t\,\in\mathbb{R},\;\Delta'(t)=\text{tr}(A)\det{_{(e)}}(X_{1}(t),X_{2}(t),\ldots,X_{n}(t))=\text{tr}(A)\Delta(t)}.

    Ainsi : {\forall\, t\in\mathbb{R},\;\Delta(t)=\Delta(0)\text{e}^{\text{tr}(A)t}=\text{e}^{\text{tr}(A)t}} car {\Delta(0)=\det(X(0))=I_{n}}.