Un calcul d’extremums

Publié le 26/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Déterminer les extremums sur {\mathbb{R}^{3}} de {f\colon (x,y,z)\mapsto x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2xyz}.
La fonction {f} est de classe {\mathcal{C}^{1}} (et même de classe {\mathcal{C}^{\infty}}) sur {\mathbb{R}^{3}}.

De plus : {\text{grad}(f)(x,y,z)=2(x,y,z)-2(yz,xz,xy)}.

On sait que si {f} présente un extremum en {M(x,y,z)} alors {\text{grad}(f)(M)=0}.

On trouve : {\text{grad}(f)(M)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x=yz\\y=xz\\z=xy\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=yz\\y(1-z^{2})=0\\z(1-y^{2})=0\end{cases}}

Il en résulte : {\text{grad}(f)(M)=0\Leftrightarrow (x,y,z)\in\{(0,0,0),(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)\}}Il y a donc cinq points critiques.

Mais on a toujours {f(x,y,z)=f(x,-y,-z)=f(-x,y,-z)=f(-x,-y,z)}.
La fonction {f} prend donc la même valeur en cas de symétrie par rapport à un axe de coordonnée.

Grâce à ces symétries il suffit de considérer les points {(0,0,0)} et {(1,1,1)}.

  • On commence par étudier {f} à l’origine. On note que {f(0,0,0)=0}.

    Posons {r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}. On a toujours {|xyz|\le r^{3}}.
    Il en résulte : {f(x,y,z)=r^{2}-2xyz\ge r^{2}(1-2r)}.

    En particulier, si {0\lt r\lt \dfrac{1}{2}}, on a {f(x,y,z)>r^{2}>f(0,0,0)=0}.

    La fonction {f} présente donc un minimum local à l’origine.
    Ce n’est pas un minimum global car par exemple {f(x,x,x)=x^{2}(3-2x)\lt0} pour {x>\dfrac{3}{2}}.

  • Passons à l’étude en {(1,1,1)}. On sait que {f(1,1,1)=1}.
    On pose {\delta(h,k,\ell)=f(1+h,1+k,1+\ell)-1}. On trouve :

    {\begin{array}{rl}\text{}\delta(h,k,\ell)&=f(1+h,1+k,1+\ell)-1\\&\phantom{\biggl(}=h^{2}+k^{2}+\ell^{2}-2(hk+h\ell+k\ell)-2hk\ell\end{array}}

    En particulier, quand {h\to 0}, {\begin{cases}\Delta(h,h,h)=-h^{2}(3+2h)\sim-3h^{2}\\\Delta(h,-h,h)=h^{2}(5+2h)\sim 5h^{2}\end{cases}}

    Ainsi {f} prend des valeurs de part et d’autre de {f(1,1,1)} sur tout voisinage de {(1,1,1)}.
    Il n’y a donc pas d’extremum local en {(1,1,1)}.
    Il n’y a bien sûr pas non plus aux quatre autres points critiques en dehors de l’origine.