Structure de groupe

Publié le 28/11/16

Soit {G} un ensemble muni d’une loi produit associative telle que :
– Il existe un élément {e} de {E} tel que: {\forall x\in E,\;xe=x}
– Pour tout {x} de {E}, il existe un {x'} dans {E} tel que {xx'=e}
Montrer que {G} est un groupe.

Montrons d’abord que {e} est neutre dans {G}.
Pour cela, soit {x} dans {G}. Il faut prouver que {ex=x}.
Il existe {x'} tel que {xx'=e}. De même, il existe {x''} tel {x'x''=e}.
On a alors : ex=(ex)(x'x'')=e(xx')x''=ex''.
Ainsi : {x'(ex)=x'(ex'')} donc {(x'e)x=(x'e)x''} donc {x'x=x'x''=e}.
Il en découle {x(x'x)=xe=x} donc {(xx')x=x}, donce {ex=x}.
Ainsi {e} est neutre dans {G}, et {x'} est l’inverse de {x} car {x'x=xx'=e}.
Conclusion : {G} est muni d’une structure de groupe.

Voir aussi :