La somme des x^n/(3n+1)

Publié le 13/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2011)
Déterminer le rayon de convergence et la somme de x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{3n+1}.
Soit x\in\mathbb{R}^*. Posons u_n(x)=\dfrac{x^n}{3n+1}.

Alors \bigg|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\bigg|=\dfrac{3n+1}{3n+4}|x|\sim|x|.

D’après D’Alembert, \sum u_{n}(x) converge si |x|<1, et diverge si |x|\gt1.

Le rayon de convergence de cette série entière est donc R=1.

Pour -1 < x < 1, soit f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{3n+1}.

Soit g(x)=xf(x^3)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{3n+1}}{3n+1}.

On a g(0)=0 et g'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{3n}=\dfrac{1}{1-x^3}.

\begin{array}{rl}g'(x)&=\dfrac{1}{3}\biggl(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{x+2}{x^2+x+1}\biggr)\\\\&=\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{6}\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+x+1}\end{array}
On trouve alors, pour tout x de ]-1,1[ :\begin{array}{rl}g(x)&=-\dfrac{1}{3}\ln(1-x)+\dfrac{1}{6}\ln(x^2+x+1)\\\\&+\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan\Bigl(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\Bigr)-\dfrac{\pi}{6\sqrt3}\end{array}De f(x^3)=\dfrac{g(x)}{x}, il découle:

\forall x\in]-1,1[,\;f(x)=x^{-1/3}g(x^{1/3}) (et f(0)=1).