Somme de projecteurs orthogonaux

Publié le 25/11/16

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2015)
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p+q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.
  1. On sait que {p} et {q} sont des endomorphismes symétriques de {E}. Il en est donc de même de leur somme {u}. Ainsi {u} est diagonalisable (théorème spectral) et (en particulier) son polynôme caractéristique est scindé.

  2. On sait que {E=\text{Im}(p)\oplus\text{Ker}(p)} (somme directe orthogonale).
    Soit {x=y+z} la décomposition d’un vecteur {x} sur cette somme.

    • on a {\left({p(x)}\mid{x}\right)=\left({y}\mid{y+z}\right)=\left\|{y}^{2}\right\|\ge 0} (égalité \,\Leftrightarrow\,y=0\,\Leftrightarrow\,x\in\text{Ker}(p).

    • on a {\left\|{x}^{2}\right\|=\left\|{y}^{2}\right\|+\left\|{z}^{2}\right\|} (Pythagore) et {p(x)=y}.
      Il en résulte : {\left\|{p(x)}\right\|=\left\|{y}\right\|\le \left\|{x}\right\|} (inégalité de Bessel);
      (plus précisément, {\left\|{p(x)}\right\|=\left\|{x}\right\|} équivaut à {z=0} c’est-à-dire {x\in\text{Im}(p)}).

    Pour les mêmes raisons, on a {\left({q(x)}\mid{x}\right)\ge0} et {\left\|{q(x)}\right\|\le \left\|{x}\right\|} pour tout vecteur {x} de {E}.

    Ainsi: {\forall x\in E,\;\begin{cases}\left({u(x)}\mid{x}\right)=\left({p(x)}\mid{x}\right)+\left({q(x)}\mid{x}\right)\ge0&(a)\\\left\|{u(x)}\right\|=\left\|{p(x)+q(x)}\right\|\le\left\|{p(x)}\right\|+\left\|{q(x)}\right\|\le 2\left\|{x}\right\|&(b)\end{cases}}

    En particulier, si {u(x)=\lambda x}, avec {x\ne 0}: {\begin{cases}\left({\lambda x}\mid{x}\right)=\lambda\left\|{x}\right\|^{2}\ge0\\\left\|{\lambda x}\right\|\le 2\left\|{x}\right\|\end{cases}} donc {0\le\lambda\le 2}.
    Ainsi {\text{Sp}(u)} est inclus dans {[0,2]}.

  3. Ce qui précède et l’inégalité {(a)} montrent que {u(x)=0\Rightarrow p(x)=q(x)=0\Rightarrow x\in\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)}.

    De même, avec {(b)} et ce qui précède: {u(x)=2x\Rightarrow\left\|{u(x)}\right\|=2\left\|{x}\right\|\Rightarrow \left\|{p(x)}\right\|=\left\|{q(x)}\right\|=\left\|{x}\right\|\Rightarrow x\in\text{Im}(p)\cap\text{Im}(q)}.

    Les réciproques {\begin{cases}x\in\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)\Rightarrow x\in\text{Ker}(u)\\x\in\text{Im}(p)\cap\text{Im}(q)\Rightarrow u(x)=2x\end{cases}} sont évidentes.

    On en déduit: {\begin{cases}\text{Ker}(u)=\text{Ker}(p)\cap\text{Ker}(q)\\\text{Ker}(u - 2\text{Id})=\text{Im}(p)\cap\text{Im}(q)\end{cases}}